高中數(shù)學(xué)圓的知識點有哪些

　　導(dǎo)語：圓是一種幾何圖形。同時，圓又是“正無限多邊形”，而“無限”只是一個概念。當(dāng)多邊形的邊數(shù)越多時，其形狀、周長、面積就都越接近于圓。所以，世界上沒有真正的圓，圓實際上只是概念性的圖形。

　　(一)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

　　1. 圓的定義：平面內(nèi)到一定點的距離等于定長的點的軌跡叫做圓。定點叫圓的圓心，定長叫做圓的半徑。

　　2. 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：已知圓心為(a，b)，半徑為r，則圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2。

　　說明：

　　(1)上式稱為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

　　(2)如果圓心在坐標(biāo)原點，這時a=0，b=0，圓的方程就是x2+y2=r2。

　　(3)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程顯示了圓心為(a，b)，半徑為r這一幾何性質(zhì)，即(x-a)2+(y-b)2=r2----圓心為(a，b)，半徑為r。

　　(4)確定圓的條件 由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知有三個參數(shù)a、b、r，只要求出a、b、r，這時圓的方程就被確定.因此，確定圓的方程，需三個獨立的條件，其中圓心是圓的定位條件，半徑是圓的定型條件。

　　(5)點與圓的位置關(guān)系的判定 若點M(x1，y1)在圓外，則點到圓心的距離大于圓的半徑，即(x-a)2+(y-b)2>r2 ; 若點M(x1，y1)在圓內(nèi)，則點到圓心的距離小于圓的半徑，即(x-a)2+(y-b)2

　　(二)圓的一般方程 任何一個圓的方程都可以寫成下面的形式： x2+y2+Dx+Ey+F=0① 將①配方得： ②(x+D/2)2+(y+E/2)2=D2+E2-4F/4 當(dāng)時，方程①表示以(-D/2,-E/2)為圓心，以為半徑的圓; 當(dāng)時，方程①只有實數(shù)解，所以表示一個點(-D/2,-E/2); 當(dāng)時，方程①沒有實數(shù)解，因此它不表示任何圖形。 故當(dāng)時，方程①表示一個圓，方程①叫做圓的一般方程。

　　圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點在于它明確地指出了圓心和半徑，而一般方程突出了方程形式上的特點：

　　(1)和的系數(shù)相同，且不等于0;

　　(2)沒有xy這樣的二次項。 以上兩點是二元二次方程表示圓的必要條件，但不是充分條件。 要求出圓的一般方程，只要求出三個系數(shù)D、E、F就可以了。

　　(三)直線和圓的位置關(guān)系

　　1. 直線與圓的位置關(guān)系 研究直線與圓的位置關(guān)系有兩種方法：

　　(l)幾何法：令圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r。 d>r直線與圓相離;d=r直線與圓相切;0≤d

　　(2)代數(shù)法：聯(lián)立直線方程與圓的方程組成方程組，消元后得到一元二次方程，其判別式為Δ。 △<0直線與圓相離;△=0直線與圓相切;△>0直線與圓相交。

　　說明：幾何法研究直線與圓的關(guān)系是常用的方法，一般不用代數(shù)法。

　　2. 圓的切線方程

　　(1)過圓x2+y2=r2上一點P(x0,y0)的切線方程是x0x+y0y=r2

　　(2)過圓(x-a)2+(y-b)2=r2上一點P(x0,y0)的`切線方程是(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2 ;

　　(3)過圓 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)上一點P(x0,y0)的切線方程是x0x+y0y+D·(x0+x)/2+E·(y0+y)/2+F=0 3.

　　直線與圓的位置關(guān)系中的三個基本問題

　　(1)判定位置關(guān)系。方法是比較d與r的大小。

　　(2)求切線方程。若已知切點M(x0，y0)，則切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2 ; 若已知切線上一點N(x0，y0)，則可設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0)，然后利用d=r求k，但需注意k不存在的情況。

　　(3)關(guān)于弦長：一般利用勾股定理與垂徑定理，很少利用弦長公式，因其計算較繁，另外，當(dāng)直線與圓相交時，過兩交點的圓系方程為 x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0

　　(四)圓與圓的位置關(guān)系

　　1. 圓與圓的位置關(guān)系問題 判定兩圓的位置關(guān)系的方法有二：

　　第一種是代數(shù)法，研究兩圓的方程所組成的方程組的解的個數(shù);

　　第二種是研究兩圓的圓心距與兩圓半徑之間的關(guān)系。

　　第一種方法因涉及兩個二元二次方程組成的方程組，其解法一般較繁瑣，故使用較少，通常使用第二種方法，具體如下： 圓(x-a1)2+(y-b1)2=r12與圓(x-a2)2+(y-b2)2=r22的位置關(guān)系，其中r1>0，r2>0 設(shè)兩圓的圓心距為d，則d=根號下(a1-a2)2+(b1-b2)2 當(dāng)d>r1+r2時，兩圓外離; 當(dāng)d=r1+r2時，兩圓外切; 當(dāng)|r1-r2|

　　2.我們在解決有關(guān)圓的問題時，應(yīng)特別注意，圓的平面幾何性質(zhì)的應(yīng)用。

　　(二)、圓的方程

　　1. ⑴曲線與方程：在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C上的 與一個二元方程f(x,y)=0的實數(shù)建立了如下關(guān)系：

　�、偾�線上的點的坐標(biāo)都是這個方程的解.

　�、谝赃@個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點.

　　那么這個方程叫做曲線方程;這條曲線叫做方程的曲線(圖形).

　�、魄�線和方程的關(guān)系，實質(zhì)上是曲線上任一點M(x,y)其坐標(biāo)與方程f(x,y)=0的一種關(guān)系，曲線上任一點(x,y)是方程f(x,y)=0的解;反過來，滿足方程f(x,y)=0的解所對應(yīng)的點是曲線上的點.

　　注：如果曲線C的方程是f(x ,y)=0，那么點P0(x0 ,y)線C上的`充要條件是f(x0 ,y0)=01.提出反證法：一般地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯誤，從而證明了原命題成立.

　　2.證明基本步驟：假設(shè)原命題的結(jié)論不成立 → 從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)推理論證得到矛盾 → 矛盾的原因是假設(shè)不成立，從而原命題的結(jié)論成立

　　3.應(yīng)用關(guān)鍵：在正確的推理下得出矛盾(與已知條件矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實矛盾等).

　　4.方法實質(zhì)：反證法是利用互為逆否的命題具有等價性來進(jìn)行證明的，即由一個命題與其逆否命題同真假，通過證明一個命題的逆否命題的正確，從而肯定原命題真實.