圓錐曲線解題技巧

　　在《圓錐曲線》中，阿波羅尼總結(jié)了前人(柏拉圖學(xué)派 的梅內(nèi)赫莫斯為解決倍立方體問題而發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線)的工作，尤其是歐幾里得的工作，并對前人的成果進行去粗存精、歸納提煉并使之系統(tǒng)化的工作，在此基礎(chǔ)上，又提出許多自己的創(chuàng)見。全書8篇，共487個命題，將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，以致后代學(xué)者幾乎沒有插足的余地達千余年。

　　圓錐曲線解題技巧

　　一、化為二次函數(shù)，求二次函數(shù)的最值

　　依據(jù)條件求出用一個參數(shù)表示的二次函數(shù)解析式，而自變量都有一定的變化范圍，然后用配方法求出限制條件下函數(shù)的最值，就可得到問題的解。

　　例1：曲邊梯形由曲線及直線，x=1，x=2所圍成，試問通過曲線，上的哪一點作切線，能使此切線從曲邊梯形上切出一個最大面積的普通梯形。

　　分析：先求出適合條件的一條切線方程，再求出這條切線與直線x=1，x=2的交點坐標，根據(jù)梯形面積公式列出函數(shù)關(guān)系式，再求最值。

　　大面積的普通梯形。

　　說明：如果函數(shù)解析式中含有參數(shù)，一般要根據(jù)定義域和參數(shù)的特點分類討論。

　　二、利用圓錐曲線性質(zhì)求最值

　　有些問題先利用圓錐曲線的定義或性質(zhì)給出關(guān)系式，再利用幾何或代數(shù)方法求最值，可使題目中的數(shù)量關(guān)系更直觀，解題方法更簡潔。

　　例2：已知雙曲線的右焦點為F，點A(9，2)。試在雙曲線上求一點M，使的值最小，并求這個最小值。

　　分析：由條件得，與互為倒數(shù)，設(shè)d為點M到對應(yīng)準線的距離，可得，把問題轉(zhuǎn)化為求的最小值，點M為過A點垂直于準線的直線與雙曲線的交點。

　　說明：利用圓錐曲線的性質(zhì)求最值是一種特殊方法，在利用時技巧性較強，但是可以避繁就簡，化難為易，使思路清晰，過程簡捷。

　　三、化為一元二次方程，利用判別式求最值

　　如果能把圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為含有一個未知量的一元二次方程，利用，解得要求未知量的范圍，然后確定其最值。

　　例3：直線，橢圓C：。求以橢圓C的焦點F1、F2為焦點，且與直線l有公共點M的橢圓中長軸最短的。

　　分析：因為直線l與所求橢圓有公共點，可以由方程組得到一個一元二次方程，再利用判別式確定所求橢圓長軸的最小值。

　　解：橢圓C的焦點。

　　說明：直線l與橢圓有公共點，可得方程組，消去一個未知數(shù)，得到一個一元二次方程，由一元二次方程有實根的條件得，構(gòu)造參變量的不等式，確定的最小值，這種解法思路清晰、自然。

　　四、利用不等式求最值

　　列出最值滿足的關(guān)系式，利用平均值不等式中等號成立的條件求最值。

　　例4：定長為3的線段AB的兩個端點在拋物線上移動，M是線段AB的中點，求M到 y軸的最短距離。

　　說明：用不等式求最值有時要用“配湊法”，這種方法是一種技巧，要在訓(xùn)練過程中逐漸掌握。在使用平均值不等式求最值時要滿足三個條件：①每一項都要取正值;②不等式的一邊為常數(shù);③等號能夠成立。

　　五、利用函數(shù)的性質(zhì)求最值

　　有些圓錐曲線的最值問題，可以先轉(zhuǎn)化成函數(shù)問題，然后利用函數(shù)的單調(diào)性、有界性等性質(zhì)求最值。

　　說明：本題把求圓錐曲線最值問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的最值問題，然后利用的有界性得出結(jié)果。

　　六、利用平面幾何的有關(guān)知識求最值

　　有些圓錐曲線求最值問題可以轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，借助一些平面幾何知識求最值。

　　例6：已知橢圓，點A(4，0)是它的右焦點，B(2，2)是橢圓內(nèi)一點，M是橢圓上一動點，求的最大值和最小值。

　　說明：有些圓錐曲線求最值問題，如果用代數(shù)方法求解比較復(fù)雜，可以考慮用幾何知識求解，其中“三角形兩邊之和大于第三邊”是求最值常用的定理。

　　圓錐曲線最值問題從方程與曲線著手，反映了數(shù)學(xué)問題中的數(shù)與形的密切關(guān)系，這類問題涉及的數(shù)學(xué)知識較多，解題方法靈活。因此，求圓錐曲線最值問題能促進數(shù)學(xué)知識的融會貫通，也能使數(shù)學(xué)能力得到全面訓(xùn)練。

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