小學(xué)數(shù)學(xué)培訓(xùn)總結(jié)(集合15篇)

　　總結(jié)就是把一個(gè)時(shí)段的學(xué)習(xí)、工作或其完成情況進(jìn)行一次全面系統(tǒng)的總結(jié)，它可以幫助我們總結(jié)以往思想，發(fā)揚(yáng)成績，快快來寫一份總結(jié)吧。那么我們該怎么去寫總結(jié)呢？下面是小編為大家收集的小學(xué)數(shù)學(xué)培訓(xùn)總結(jié)，歡迎大家借鑒與參考，希望對大家有所幫助。

小學(xué)數(shù)學(xué)培訓(xùn)總結(jié)1

　　數(shù)”的產(chǎn)生成為人類文明發(fā)展的一個(gè)重要的標(biāo)志。人類從識別事物多寡的原始的數(shù)覺能力，到抽象的“數(shù)”概念的形成，經(jīng)歷了一個(gè)緩慢漸進(jìn)的過程。

　　第一次擴(kuò)充：分?jǐn)?shù)的引進(jìn)；第二次擴(kuò)充：0的引進(jìn)；第三次擴(kuò)充：負(fù)數(shù)的引進(jìn)；第四次擴(kuò)充：無理數(shù)的引進(jìn)；第五次擴(kuò)充：復(fù)數(shù)的引進(jìn)。

　　從原有數(shù)集擴(kuò)充到新數(shù)集所遵循的原則：原數(shù)集是擴(kuò)充后新數(shù)集的真子集；原數(shù)集定義的元素間的關(guān)系和運(yùn)算在新數(shù)集中同樣地被定義；原數(shù)集中的元素在新數(shù)集中定義的運(yùn)算結(jié)果與在原數(shù)集中的運(yùn)算結(jié)果一致，且基本運(yùn)算律保持；在原數(shù)集中不能施行或不能完全施行的某種運(yùn)算，在新數(shù)集中能夠施行；新數(shù)集是滿足上述四條的數(shù)集中的最小數(shù)集。擴(kuò)充方法：一種是把新引進(jìn)的數(shù)加到已建立的數(shù)系中而擴(kuò)充。另一種是從理論上創(chuàng)造一個(gè)集合，即通過定義等價(jià)類來建立新數(shù)系，然后指出新數(shù)系的一個(gè)部分集合與以前數(shù)，一種新的數(shù)，也就實(shí)現(xiàn)了數(shù)系的一次擴(kuò)張。引入了負(fù)數(shù)，就實(shí)現(xiàn)了這個(gè)數(shù)系關(guān)于加減運(yùn)算的自封閉。

　　有理數(shù)有一種簡單的幾何解釋在一條水平的直線上，確定一段線段為單位長度，把它的左、右端點(diǎn)分別標(biāo)設(shè)為0和1。正整數(shù)在0的右邊，負(fù)整數(shù)在0的左邊。對于分母q的有理數(shù)，就可以用把單位區(qū)間q等分的那些分點(diǎn)表示。每一個(gè)有理數(shù)都可以找到數(shù)軸上的一點(diǎn)與之對應(yīng)。

　　無理數(shù)的引入正方形的邊長和對角線不可公度。實(shí)現(xiàn)了數(shù)系的又一次擴(kuò)張，可以滿足數(shù)學(xué)上開方運(yùn)算的需要，實(shí)現(xiàn)了實(shí)數(shù)系關(guān)于加減運(yùn)算的封閉性。戴德金闡述了有理數(shù)的有序性、稠密性和戴德金分割。戴德金分割是指,每個(gè)有理數(shù)都將全部有理數(shù)分為兩類，使得第一類中每個(gè)數(shù)都小于第二類中的任一個(gè)數(shù)，這個(gè)分類的有理數(shù)可以算在兩類的任何一類中。利用這個(gè)分割法可以得到無理數(shù)的定義。

　　所建立的數(shù)系是同構(gòu)的。

　　自然數(shù)的兩大基本理論：基數(shù)理論和序數(shù)理論

　　基數(shù)理論當(dāng)我們把所有表示數(shù)量的符號放在一起就得到了一個(gè)集合，我們稱之為“數(shù)集”，為了度量“數(shù)集”當(dāng)中表示數(shù)量的符號個(gè)數(shù)，我們首先要定義一個(gè)概念就是“基數(shù)”。19世紀(jì)中葉，數(shù)學(xué)家康托以集合理論為基礎(chǔ)提出了自然數(shù)的基數(shù)理論。等價(jià)集合的共同特征稱為基數(shù)。對于有限集合來說，基數(shù)就是元素的個(gè)數(shù)。自然數(shù)就有有限集合A的基數(shù)叫做自然數(shù)。記作“”。當(dāng)集合是有限集時(shí)，該集合的基數(shù)就是自然數(shù)�？占�的基數(shù)就是0。而一切自然數(shù)組成的集合，我們稱之為自然數(shù)集，記為N。

　　序數(shù)理論皮亞諾1889年建立了自然數(shù)的序數(shù)理論，進(jìn)而完全確立了數(shù)系的理論。是根據(jù)一個(gè)集合里某些元素之間有“后繼”這一基本關(guān)系和五條公理（皮亞諾公理），把自然數(shù)集里的元素按1、2、……這樣一種基本關(guān)系而完全確定下來。

　　定義非空集合N中的元素叫做自然數(shù),如果N的元素之間有一個(gè)基本關(guān)系“后繼”(b后繼于a,記為b=a′)，并滿足下列公理：

　�。�1）0∈N；

　�。�2）0不是N中任何元素的后繼元素；

　�。�3）對N中任何元素a，有唯一的a′∈N；

　�。�4）對N中任何元素a，如果a≠0，那么，a必后繼于N中某一元素b；

　�。�5）（歸納公理）如果MN，而且滿足條件:①0∈M；②若a∈M，則a′∈M.那么，M=N這樣，所構(gòu)成的系統(tǒng)稱為皮亞諾公理系統(tǒng)，它就是自然數(shù)系。

　　自然數(shù)0是作為空集的標(biāo)記。在空集中，“0”作為記數(shù)法中的空位，在位置制記數(shù)中是不可缺少的。

　　自然數(shù)系所蘊(yùn)含的思想

　　對應(yīng)思想（可數(shù)的集合）自然數(shù)建立在對應(yīng)概念之上，而且對應(yīng)的思想也成為自然數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)。一一對應(yīng)關(guān)系是集合論中建立兩個(gè)集合“相等”關(guān)系的一個(gè)重要概念。（導(dǎo)致了俗稱“理發(fā)師悖論”的羅素悖論的發(fā)現(xiàn)）德國策梅羅提出七條公理，建立了一種不會產(chǎn)生悖論的集合論，后又經(jīng)過德國弗芝克爾改進(jìn)形成了一個(gè)無矛盾的集合論公理系統(tǒng)（ZF公理系統(tǒng)）。數(shù)位思想

　　位置制記數(shù)法，就是運(yùn)用少量的符號，通過它們不同個(gè)數(shù)的排列，以表示不同的數(shù)。用十個(gè)記號來表示一切的數(shù)，每個(gè)記號不但有絕對的值，而且有位置的值。十進(jìn)位位置制記數(shù)之產(chǎn)生于中國，是與算籌的使用與籌算制度的演進(jìn)分不開的。

　　負(fù)數(shù)的數(shù)學(xué)含義至少包括如下幾個(gè)方面：+a與-a表示一對相反意義的量。引入負(fù)

　　數(shù)學(xué)符號有兩種重要屬性：抽象性和形象性。數(shù)學(xué)符號的意義在于：有了數(shù)學(xué)符號，才使得抽象的數(shù)學(xué)概念有了具體的表現(xiàn)形式，才使得具有一般意義的推理和運(yùn)算、抽象的數(shù)學(xué)思維能以直觀的、簡約的形式表現(xiàn)出來。

　　字母代表數(shù)代數(shù)，原意就是指“文字代表數(shù)”的學(xué)問。使得許多算術(shù)問題可以轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程問題求解。根本的內(nèi)涵是“未知數(shù)的'符號x可以和數(shù)一樣進(jìn)行四則運(yùn)算。文字代表數(shù)的真正價(jià)值在于：字母能夠和數(shù)字一起進(jìn)行四則運(yùn)算和乘方、開方，進(jìn)行指數(shù)、對數(shù)、三角等運(yùn)算，乃至對字母進(jìn)行微分、積分運(yùn)算等等。

　　解析式數(shù)字、字母、運(yùn)算符號按照一定規(guī)律有意義地結(jié)合而成的符號組合。解析式中的字母可以有不同的含義不同的含義不影響它基本運(yùn)算規(guī)律和變形規(guī)則。解析式可以區(qū)分為兩大類：一類是只含有代數(shù)運(yùn)算的解析式叫代數(shù)式，沒有開方運(yùn)算的代數(shù)式稱為有理式，否則稱為無理式；沒有除法運(yùn)算的有理式稱為整式，否則稱為分式；沒有加、減運(yùn)算的整式稱為單項(xiàng)式，否則稱為多項(xiàng)式。另一類是包含初等超越運(yùn)算的解析式統(tǒng)稱為初等超越式，簡稱超越式。它包括指數(shù)式、對數(shù)式、三角函數(shù)式、反三角函數(shù)式。

　　解析式的恒等變形把一個(gè)給定的解析式變換為另一個(gè)與它恒等的解析式，叫做解析式的恒等變形。恒等是相對的。式的恒等變形也是可以連寫的，因?yàn)樗鼈儗σ磺袛?shù)，代入式都相等。但是，解方程時(shí)的同解變形，不是恒等變形，。代數(shù)式數(shù)學(xué)的符號語言

　　代數(shù)式是在數(shù)系基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。在初等代數(shù)中，所涉及的運(yùn)算可分為兩大類：1代數(shù)運(yùn)算2初等超越運(yùn)算：指數(shù)是無理數(shù)的乘方、對數(shù)、三角、反三角運(yùn)算。

　　定義，在一個(gè)解析式中，如果對字母只進(jìn)行有限次代數(shù)運(yùn)算，那么這個(gè)解析式就稱為代數(shù)式；如果對字母進(jìn)行了有限次的初等超越運(yùn)算，那么這個(gè)解析式就稱為初等超越式，簡稱超越式。還可以進(jìn)一步分類：只含有加、減、乘、除、指數(shù)為整數(shù)的乘方運(yùn)算的代數(shù)式稱為有理式；其余的代數(shù)式稱為無理式；在有理式中，只含有加、減、乘運(yùn)算稱為整式（或多項(xiàng)式），其余的有理式稱為分式。

　　“數(shù)”發(fā)展到“式”的意義導(dǎo)致了運(yùn)算形式化、程序化及規(guī)則的公理化，包含了計(jì)算對象擴(kuò)大化，即數(shù)系的擴(kuò)大化問題。將抽象的符號運(yùn)算應(yīng)用到更一般的對象上，開辟了構(gòu)造數(shù)學(xué)的新方向，為抽象代數(shù)學(xué)的發(fā)展埋下了伏筆，成為近代數(shù)學(xué)的顯著特征。

　　數(shù)學(xué)符號具有重要的屬性一是它的抽象性。符號代表了事物本質(zhì)的特征，從而具有代表性和一般性。另一個(gè)重要的屬性在于它的形象性。數(shù)學(xué)符號不但精確地表示數(shù)學(xué)抽象，而且是抽象內(nèi)涵的簡約形象。等式和方程

　　（一）方程的含義“含有未知數(shù)的等式叫方程”。這個(gè)定義簡單明了，為大家所習(xí)用。不過，這個(gè)定義有不足�！胺匠淌菫榱藢で笪粗獢�(shù)，在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立起來的等式關(guān)系�！卑逊匠痰暮诵膬r(jià)值提出來了，即為了尋求未知數(shù)。

　　判斷一個(gè)代數(shù)式等式是否是方程就是看等式中的字母是否是待求的未知數(shù)。方程的概念一般用于兩個(gè)領(lǐng)域：“求某個(gè)未知數(shù)的數(shù)”和“曲線與方程”在這兩個(gè)領(lǐng)域中“方程”的概念本身并沒有變化，而是研究的問題有所不同。前者的目的在于求方程的解，而后者則希望研究的是這些解的分布情況。方程解的個(gè)數(shù)（或解集的大�。┡c方程的存在域的大小有直接關(guān)系。

　　方程的分類依照方程解的個(gè)數(shù)分，可將方程分為無解方程（矛盾方程）、有唯一解、有多個(gè)解、有無窮多個(gè)解和全體實(shí)數(shù)解等。方程按照它所含有的未知數(shù)的個(gè)數(shù)來分類：集。兩個(gè)不等式的解集相同，則稱這兩個(gè)不等式是同解的。

　　不等式有三個(gè)基本性質(zhì)：1不等式兩邊同時(shí)加或減去同一個(gè)整式，不等號方向不變，2不等式兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)大于0的整式，不等號方向不變3不等式兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)小于0的整式，不等號方向改變。不等式的實(shí)際應(yīng)用在運(yùn)動變化過程中，如果用函數(shù)模型刻畫運(yùn)動變化的兩個(gè)變量x、y之間的關(guān)系，那么.方程模型刻畫的是x、y變化過程中某一瞬間的情況，而不等式模型刻畫的是變化過程中x、y之間的大小關(guān)系，是更普遍存在的狀態(tài)。不等式尤其在解決“最值”問題上具有廣泛的應(yīng)用。不等式蘊(yùn)含的思想

　　（一）模型思想與相等現(xiàn)象相比，不等現(xiàn)象是現(xiàn)實(shí)世界中更為普遍的現(xiàn)象，不等式是一元方程、二元方程、多元方程等。

　　方程借助用字母表示數(shù)的代數(shù)思想，將未知數(shù)同已知數(shù)一起描述問題的代數(shù)表達(dá)形式，形成了方程的基本思想。

　　方程思想具有很豐富的含義，其核心體現(xiàn)在：一是模型思想，二是化歸思想。學(xué)習(xí)方程內(nèi)容最主要的事情集中在兩個(gè)方面。一方面是建模，另一方面是會解方程。關(guān)于方程建模大自然的許多客觀規(guī)律都表現(xiàn)為量與量之間的某種關(guān)系，將它表示出來往往就是一個(gè)方程式。初中方程的教學(xué)不能過分地停留在數(shù)學(xué)層面上必須使學(xué)生真正體會到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活密不可分的聯(lián)系。體會方程是一種用數(shù)學(xué)符號提煉現(xiàn)實(shí)生活中的特定關(guān)系的過程。必須學(xué)會抽象將關(guān)系抽象為數(shù)學(xué)符號。

　　方程設(shè)計(jì)思想的思路先進(jìn)行生活中的提煉，然后到數(shù)學(xué)表達(dá)，到形式化的方程，再到最終解決方程問題。

　　初中數(shù)學(xué)方程的常見解法：換元法、因式分解法、圖像法、求根公式法。

　　等式與方程的關(guān)系建立方程是借助等式作為其上位概念來完成的。方程是一種特殊的等式，是在說明相等是怎么回事，等式可以是數(shù)字之間的相等，可以是恒等，而方程刻畫的可以是兩件事情之間的相等，可以是有條件的相等，也可以使一種隨機(jī)的相等。不等式

　　學(xué)習(xí)的意義不等式可以表示一種界限，本身就是一種規(guī)律。其次，研究不等式可以導(dǎo)致等式。最后，不等式在幾何上可以表示一個(gè)區(qū)域。

　　不等關(guān)系與相等關(guān)系既是矛盾獨(dú)立的，也是相互統(tǒng)一的。不等關(guān)系往往可以等價(jià)地轉(zhuǎn)化為相等關(guān)系加以解決。

　　不等式的含義兩個(gè)實(shí)數(shù)或代數(shù)式用符號連接起來的所得到的式子叫做不等式。如果不論用什么實(shí)數(shù)代替不等式中的字母，它都能夠成立，這樣的不等式叫絕對不等式，如果只用某些范圍內(nèi)的實(shí)數(shù)代替不等式中的字母，它才能夠成立，這樣的不等式叫條件不等式。如果不論用什么樣的實(shí)數(shù)值代替不等式中的字母，不等式都不能成立，這樣的不等式叫矛盾不等式。當(dāng)不等號兩邊的解析式都是代數(shù)式時(shí)，稱為代數(shù)不等式；兩邊的解析式至少有一個(gè)是超越式時(shí)，稱為超越不等式。不等式解集表示方法

　　不等式所有解的集合，叫做解集。求不等式解集的過程叫解不等式。不等式組中每一個(gè)不等式解集的交集叫做不等式組的解集。

　　一個(gè)不等式的解集表示方法1數(shù)軸表示法即在數(shù)軸上把不等式的解集表示出來。2集合表示法即用集合來表示不等式的解集。3區(qū)間表示法即用區(qū)間來表示不等式的解

　　刻畫不等現(xiàn)象的有力模型。通過分析實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，列出不等式，通過解不等式得到實(shí)際問題的答案，這就體現(xiàn)了不等式的模型思想。同時(shí)，這種模型經(jīng)常與函數(shù)、方程聯(lián)系在一起，三者都是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中量與量之間變化規(guī)律的重要模型，在解決實(shí)際問題時(shí)，要合理選擇這三種重要的數(shù)學(xué)模型。（二）辯證思想通過c=a-b的媒介作用，不等式a>b與等式a=b+c建立了一種“等價(jià)”關(guān)系。這是一種辯證關(guān)系。恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用這種思想可以輕松地化解相當(dāng)多的問題。（三）數(shù)形結(jié)合思想根據(jù)題意可列出不等式組，運(yùn)用數(shù)軸表示不等式組的解集，可以直觀形象地解決問題。這種思想正是數(shù)形結(jié)合思想。函數(shù)

　　函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型。

　　1755年，歐拉首次給出了函數(shù)變量定義：“如果某些變量，以這樣一種方式依賴于另一些變量，即當(dāng)后面的變量變化時(shí)，前者的這些量也隨之變化，則將前面的變量稱之為后一些變量的函數(shù)�！庇纱搜葑�?yōu)槟壳暗暮瘮?shù)的“變量說”黎曼在1851定義：“我們假定z是一個(gè)變量，如果對它的每一個(gè)值，都有未知量W的每一個(gè)值與之對應(yīng)，則稱W是Z的函數(shù)�！�。1939年，布爾巴基學(xué)派主借用了笛卡兒積建立關(guān)系，進(jìn)而定義函數(shù)：

　　1）對

　　中每一個(gè)元素

　　，存在

　　，使

　��；

　�。�2）若且，則。函數(shù)記作：”分別稱以上函數(shù)定義為變量說、對應(yīng)說和關(guān)系說。函數(shù)概念的核心思想

　　數(shù)學(xué)的核心是研究關(guān)系，即數(shù)量關(guān)系、圖形關(guān)系和隨機(jī)關(guān)系。函數(shù)研究的是兩個(gè)變量之間的數(shù)量關(guān)系：一個(gè)變量的取值發(fā)生了變化，另一個(gè)變量的取值也發(fā)生變化，這就是函數(shù)表達(dá)的數(shù)量之間的對應(yīng)關(guān)系。其中有三點(diǎn)是重要的，一是變量的取值是實(shí)數(shù)；二是因變量的取值是唯一的；三是必須借助數(shù)字以外的符號表示函數(shù)。函數(shù)的表達(dá)方式一般有三種：解析式法，表格法，圖像法。

　　解析式是最常用的方法，適用于表示連續(xù)函數(shù)或者分段函數(shù)。解析式有利于研究函數(shù)性質(zhì)，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，但對初學(xué)者來說也是抽象的。列表法適用于表達(dá)變量取值是離散的情況。利用圖像法可以直觀地表述函數(shù)的形態(tài)，有利于分析函數(shù)的性質(zhì)，但作圖是比較困難的，用何種方法表達(dá)函數(shù)可因題而議。中學(xué)數(shù)學(xué)研究的函數(shù)性質(zhì)

　　數(shù)學(xué)中研究函數(shù)主要是研究函數(shù)的變化特征。中學(xué)階段主要研究函數(shù)的周期性，也涉及

　　奇偶性；在高中階段主要研究函數(shù)的單調(diào)性、周期性，也討論某些函數(shù)的奇偶性。（一）函數(shù)的周期性周期性反映了函數(shù)變化周而復(fù)始的規(guī)律。是中學(xué)階段學(xué)習(xí)函數(shù)的一個(gè)基本的性質(zhì)。周期函數(shù)是刻畫周期變化的基本函數(shù)模型，使我們集中研究函數(shù)在一個(gè)周期里的變化，了解函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)的變化情況。

　�。ǘ�）函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性也是我們在中學(xué)階段學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)要研究的函數(shù)的性質(zhì)，但它不是最基本的性質(zhì)。奇偶性反應(yīng)了函數(shù)圖形的對稱性質(zhì)，可以幫助我們用對稱思想來研究函數(shù)的變化規(guī)律。

　　（三）函數(shù)的單調(diào)性單調(diào)性是討論函數(shù)“變化”的一個(gè)最基本的性質(zhì)。從幾何的角度看，就是研究函數(shù)圖像走勢的變化規(guī)律。函數(shù)與其它內(nèi)容的聯(lián)系

　�。ㄒ唬┖瘮�(shù)與方程用函數(shù)的觀點(diǎn)看待方程可以把方程的根看成函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐．解析幾何的產(chǎn)生與發(fā)展

　　笛卡爾提出了平面坐標(biāo)系的概念，實(shí)現(xiàn)了點(diǎn)與數(shù)對的對應(yīng)，將圓錐曲線用含有兩面三刀個(gè)求知數(shù)的方程來表示，并且形成了一系列全新的理論與方法，解析幾何就這樣產(chǎn)生了�，F(xiàn)代幾何的產(chǎn)生與發(fā)展

　　人們不斷發(fā)現(xiàn)《幾何原本》在邏輯上不夠嚴(yán)密之處，在嘗試用其他公理、公設(shè)證明第五公設(shè)“的失敗，促使人們重新考察幾何學(xué)的邏輯基礎(chǔ)，并取得了兩方面的突出研究成果。初中數(shù)學(xué)課程中的幾何學(xué)內(nèi)容

　　（一）直觀幾何幾何學(xué)是其中研究“形”的分支。幾何圖形可以直觀地表示出來，人們認(rèn)識圖形的初級階段，主要依靠形象思維。“形象思維”也就是強(qiáng)調(diào)幾何直觀。

　　（二）演繹幾何幾何圖形本身具有抽象性和一般性，一種幾何概念可能包含無限多種不同的情形，因此，研究圖形的形狀、大小和位置關(guān)系時(shí)，不能僅僅依靠直觀實(shí)驗(yàn)的方法，標(biāo)，即零點(diǎn)的橫坐標(biāo)。方程可看作函數(shù)的局部性質(zhì)，求方程的根就變成了求函數(shù)圖形與x軸的交點(diǎn)問題。

　�。ǘ�）函數(shù)與數(shù)列數(shù)列是特殊的函數(shù)。它的定義域一般是指非負(fù)的正整數(shù)集，有時(shí)也可以為自然數(shù)集，或者自然數(shù)集的子集。數(shù)列通常稱為離散函數(shù)。等差數(shù)列是線性函數(shù)的離散化，而等比數(shù)列是指數(shù)函數(shù)的離散化。

　�。ㄈ�）函數(shù)與不等式我們首先確定函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)（方程f(x)=0的解），再根據(jù)函數(shù)的圖像來求解不等式。

　�。ㄋ模┖瘮�(shù)與線性規(guī)劃是最優(yōu)化問題的一部分，從函數(shù)的觀點(diǎn)看，首先，要確定目標(biāo)函數(shù)，用目標(biāo)函數(shù)來刻畫“好、壞”或“大、小”等，接著，需要確定目標(biāo)函數(shù)的可行域。最后，討論目標(biāo)函數(shù)在可行域（由約束條件確定的定義域）內(nèi)的最值問題。

　　解線性規(guī)劃問題，可歸結(jié)為以下算法：第一步，確定目標(biāo)函數(shù)；第二步，確定目標(biāo)函數(shù)的可行域；第三步，確定目標(biāo)函數(shù)在可行域內(nèi)的最值。函數(shù)模型

　　函數(shù)是對現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的抽象，是建立思想模型的基礎(chǔ)，具有良好的普適性和代表意義。現(xiàn)實(shí)生活中，普遍存在著最優(yōu)化問題----最佳投資、最小成本等，常常歸結(jié)為函數(shù)的最值問題，通過建立相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)，確定變量的限制條件，運(yùn)用函數(shù)建模的思想進(jìn)行解決。在運(yùn)用一次函數(shù)知識和方法建模解決時(shí)，有時(shí)要涉及到多種方案，通過比較，從中挑選出最佳的方案。

　　在實(shí)際的教學(xué)中，除了使學(xué)生了解所學(xué)習(xí)的函數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中有豐富的“原型”之外，還應(yīng)通過實(shí)例介紹或讓學(xué)生通過運(yùn)算來體驗(yàn)函數(shù)模型的多樣性。

　　通過實(shí)例，讓學(xué)生體會、感受數(shù)據(jù)擬合在預(yù)測、規(guī)劃等方面的重要作用，使學(xué)生們學(xué)會用數(shù)學(xué)的知識、思想方法、數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，提高運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力．要鼓勵(lì)學(xué)生收集一些社會生活中普遍使用的函數(shù)模型的實(shí)例進(jìn)行探索實(shí)踐．第二章圖形與幾何四個(gè)基本階段。

　　實(shí)驗(yàn)幾何的形成和發(fā)展

　　人們在觀察、實(shí)踐、實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上積累了豐富的幾何經(jīng)驗(yàn)，形成了一批粗略的概念，反映了某些經(jīng)驗(yàn)事實(shí)之間的聯(lián)系，形成了實(shí)驗(yàn)幾何。理論幾何的形成和發(fā)展

　　柏拉圖把邏輯學(xué)的思想方法引入幾何學(xué)，確立縝密的定義和明晰的公理作為幾何學(xué)的基礎(chǔ)，歐幾里德按照嚴(yán)密的邏輯系統(tǒng)編寫的《幾何原本》奠定了理論幾何的基礎(chǔ)。而需要具有一般性和抽象性的方法，其中包括邏輯推理。

　　以一些原始概念和公理為出發(fā)點(diǎn)，逐步對一些幾何概念做比較邏輯化的描述，進(jìn)行一些基本推理和論證。雖然也借助直觀和少量代數(shù)公理，但是，主要立足邏輯進(jìn)行幾何概念及其性質(zhì)的分析研究，這就是演繹幾何。

　�。ㄈ�）度量幾何對一些圖形進(jìn)行度量，包括長度，面積，體積，角度等，適當(dāng)?shù)难由臁＃ㄋ模┳儞Q幾何也叫運(yùn)動幾何。這個(gè)領(lǐng)域主要討論平移、旋轉(zhuǎn)、反射等剛體運(yùn)動，以及相似變換、拓?fù)渥儞Q，并借以研究圖形的全等、對稱等概念，了解變換之下的不變量。（五）坐標(biāo)幾何即解析幾何。在解析幾何中，首先是建立坐標(biāo)系。坐標(biāo)系將幾何對象和數(shù)、幾何關(guān)系和函數(shù)之間建立了密切的聯(lián)系，這樣就可以對空間形式的研究歸結(jié)成比較成熟也容易駕馭的數(shù)量關(guān)系的研究了。

　　經(jīng)驗(yàn)幾何所謂經(jīng)驗(yàn)幾何，通常是直觀幾何、實(shí)驗(yàn)幾何的通稱，它特別關(guān)注學(xué)生幾何活動經(jīng)驗(yàn)的積累，以及幾何直覺的發(fā)展。經(jīng)驗(yàn)幾何的作用

　　幾何學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界物體的形狀、大小和位置關(guān)系的學(xué)科,而后發(fā)展成為研究一般空間結(jié)構(gòu)、圖形關(guān)系的學(xué)科。

　　（一）經(jīng)驗(yàn)幾何則是發(fā)現(xiàn)幾何命題和定理的有效工具，在培養(yǎng)人的直覺思維和創(chuàng)造性思維方面起著重大的作用，而論證幾何在培養(yǎng)人的邏輯思維能力方面起著重要作用。（二）經(jīng)驗(yàn)幾何是學(xué)習(xí)推理論證幾何的必要前提。

　　學(xué)習(xí)的內(nèi)容是由非形式化的推理逐漸提升到形式化的推理，透過直觀幾何與實(shí)驗(yàn)幾何的充分學(xué)習(xí)，對幾何對象的熟悉及非形式化的推理，達(dá)到知覺性的了解、操作性的了解，進(jìn)而形成幾何推理。

　　另一方面，我們用來作為推理基礎(chǔ)的幾何性質(zhì)，一部分是利用實(shí)驗(yàn)歸納的方法得來的，另一部分則是利用已知的幾何性質(zhì)進(jìn)行“推論”而導(dǎo)出的結(jié)果。

　　（三）實(shí)驗(yàn)幾何是幾何學(xué)習(xí)的一個(gè)階段和一種認(rèn)知水平，更是一種幾何學(xué)習(xí)方法。總之，實(shí)驗(yàn)幾何作為幾何學(xué)習(xí)的一個(gè)階段，在學(xué)生幾何學(xué)習(xí)過程中起到承上啟下的銜接作用；同時(shí)，實(shí)驗(yàn)幾何是貫穿從直觀幾何到論證幾何學(xué)習(xí)的一種有益于發(fā)現(xiàn)真理、幾何直觀幾何直觀具有發(fā)現(xiàn)功能，同時(shí)也是理解數(shù)學(xué)的有效渠道。數(shù)學(xué)概念經(jīng)過多級抽象充分形式化后，有必要以相對直觀可信的數(shù)學(xué)對象為基礎(chǔ)進(jìn)行理性重建，從而達(dá)到思維直觀化的理想目標(biāo)和可應(yīng)用性要求,這要求數(shù)學(xué)的直觀與形式的統(tǒng)一，才使得數(shù)學(xué)的完美。

　　幾何直觀及其作用《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（修訂稿）指出，幾何直觀主要是指利用圖形描述

　　和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。

　　幾何直觀對于學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)展非常重要：

　　首先，幾何直觀是一種創(chuàng)造性思維，是一種很重要的科學(xué)研究方式，在科學(xué)發(fā)現(xiàn)過程中起到不可磨滅的作用。對于數(shù)學(xué)中的很多問題，靈感往往來自于幾何直觀。數(shù)學(xué)家總是力求把他們研究的問題盡量變成可借用的幾何直觀問題，使他們成為數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的向?qū)�，隨著現(xiàn)代科技的發(fā)展，幾何直觀在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、圖象處理、圖象控制等領(lǐng)域都有誘人的前景。

　　其次，幾何直觀是認(rèn)識論問題，是認(rèn)識的基礎(chǔ),有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解。

　　借助于幾何直觀、幾何解釋，能啟迪思路,可以幫助我們理解和接受抽象的內(nèi)容和方法，抽象觀念、形式化語言的直觀背景和幾何形象，都為學(xué)生創(chuàng)造了一個(gè)自己主動思考一般地，周長指封閉曲線一周的長度。（二）面積

　　物體的表面是一個(gè)二維的圖形，直觀地感覺它所占有的區(qū)域具有一定的大小，對一個(gè)二維圖形的表面進(jìn)行度量以后，用一個(gè)“數(shù)”標(biāo)志它的大小，稱這個(gè)數(shù)為該圖形的面積。人們約定，將邊長為1米的正方形的面積規(guī)定為1平方米。

　　于是，對于邊長為整數(shù)a米、b米的矩形，總可以將其剖分為若干個(gè)邊長為1米的正方形，進(jìn)而，這個(gè)矩形就由ab個(gè)單位正方形組成，從而，這個(gè)矩形的面積為ab平方米（整數(shù)）。如果矩形的邊長A，B是無理數(shù)，而且仍用邊長為1的正方形去度量，那么，還要使用極限過程，用一列有理數(shù)逼近無理數(shù)，an→A,bn→B。依據(jù)anbn→AB，以及有理數(shù)邊長的矩形面積公式，最后得出，矩形的面積也是AB。

　　這個(gè)過程實(shí)際上論證了“邊長相等的兩個(gè)矩形的面積的比，等于它們不相等邊的長度的的機(jī)會，揭示經(jīng)驗(yàn)的策略，創(chuàng)設(shè)不同的數(shù)學(xué)情景，使學(xué)生從洞察和想象的內(nèi)部源泉入手，通過自主探索、發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造，經(jīng)歷反思性循環(huán)，體驗(yàn)和感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程；使學(xué)生從非形式化的、算法的、直覺相互作用與矛盾中形成數(shù)學(xué)觀。

　　最后，幾何直觀是揭示現(xiàn)代數(shù)學(xué)本質(zhì)的有力工具，有助于形成科學(xué)正確的世界觀和方法論。借助幾何直觀，揭示研究對象的性質(zhì)和關(guān)系，使思維很容易轉(zhuǎn)向更高級更抽象的空間形式，使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)創(chuàng)造性工作歷程，能夠開發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造激情，形成良好的思維品質(zhì)。

　　直觀幾何主要包含哪些內(nèi)容

　　以大量豐富的實(shí)例為背景，通過觀察、操作來探索認(rèn)識基本圖形的性質(zhì)。這些基本圖形主要包括點(diǎn)、線、面、角、平行線、相交線、三角形四邊形、圓等，除此之外，還包括尺規(guī)作圖、視圖和投影等。這些內(nèi)容構(gòu)成直觀幾何的重要組成部分。經(jīng)驗(yàn)幾何的具體研究內(nèi)容

　　初中幾何的主要課程教學(xué)目標(biāo)在于，“積累幾何活動經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展幾何直觀、空間觀念，進(jìn)一步感受幾何推理的魅力，體會幾何的美，初步掌握幾何推理的基本形式”，而發(fā)展幾何直觀、積累幾何活動經(jīng)驗(yàn)、培養(yǎng)空間觀念，則是經(jīng)驗(yàn)幾何的核心目標(biāo)。按照初中階段的經(jīng)驗(yàn)幾何認(rèn)識過程的不同，通�？梢詫⒔�(jīng)驗(yàn)幾何的學(xué)習(xí)內(nèi)容，分成認(rèn)識圖形、進(jìn)行立體圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)換、在運(yùn)動與變換中研究幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)三部分。度量幾何幾何學(xué)起源于圖形大小的度量。根據(jù)圖形的維數(shù)，把度量一維圖形大小的數(shù)稱為長度，而將二維圖形的大小用面積來表示，體積則是標(biāo)志三維圖形大小的數(shù)。線段長度是一切度量的出發(fā)點(diǎn)。

　　長度的含義線段“兩端之間的距離”。所謂距離。羅蘭德（Rowland）首先使用光柵測量一公尺長度中的波長數(shù)。1960年以后，用激光定義“米”。

　　目前，國際上采用的長度單位，是在1983年10月確定的，即第十七屆國際權(quán)度大會重新把國際標(biāo)準(zhǔn)制（SI）中的長度單位──“米（meter）”定義為：光于299,792,458分之1秒內(nèi)在真空中所走的長度，稱為“米”。

　　如果可以用一個(gè)線段e衡量兩條線段M，N，使得M，N都是e的整數(shù)倍，我們稱兩個(gè)線段M，N是可公度的。

　　輾轉(zhuǎn)相除方法，用后次的an截取前次的an-1，即較長的那個(gè)線段減去短的那個(gè)線段，如此輾轉(zhuǎn)截取，直到兩個(gè)線段一樣長，這個(gè)長度就是公度量。古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，發(fā)現(xiàn)正方形的邊與其對角線不可公度3.周長“圓、橢圓或其它閉合的曲線的周界長度�！�

　　比”。

　　海倫-秦九韶公式

　　劉徽用割圓法求圓面積大膽地將極限思想和無窮小分割引入了數(shù)學(xué)證明。將圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)不斷加倍，則它們與圓面積的差越來越小，其極限值就是所要求的圓面積。印度圓取兩個(gè)相等的圓，把它們等分成相同的若干個(gè)全等扇形，然后把它們沿半徑剖開（但扇形的圓弧仍然連著）、展平成鋸齒條形然后，把兩個(gè)鋸齒形互相嵌入即成一個(gè)近似的矩形。份數(shù)分得愈多，其結(jié)果愈接近矩形，這個(gè)矩形的高為圓半徑r，底為圓周長c，面積為rc，從而得圓面積為.體積是指物質(zhì)或物體所占空間的大小。

　�。�1）直接度量法。把一種叫做“單位正方體”的空間圖形盡可能地堆放在要度量的幾何體內(nèi)，如果被度量的幾何體恰好被a個(gè)正方體填滿，那么這個(gè)幾何體的體積就等于幾個(gè)單位體積。（2）間接度量法。量出被度量的幾何體中某些線段的長度，再利用有關(guān)公式計(jì)算出這個(gè)幾何體的體積。“面積公理”與測度公理

　　既然圖形是一個(gè)集合，而相應(yīng)的圖形的面積是一個(gè)數(shù)，所以，面積是定義在“集合族”之上的一個(gè)函數(shù)。這個(gè)集合函數(shù)顯然是非負(fù)函數(shù)，而且正方形的面積是1。當(dāng)然，兩個(gè)不重疊的圖形之并的面積，必須等于兩個(gè)圖形的面積之和。最后，如果圖形經(jīng)過移動、旋轉(zhuǎn)、反射，其面積應(yīng)該不變。這些性質(zhì)放在一起，就成為面積公理的內(nèi)容。對于周長一定的矩形來說，邊長相等時(shí)矩形面積最大，即正方形的面積最大。（2）對于面積一定的矩形來說，邊長相等時(shí)矩形周長最小，即正方形的周長最小。事實(shí)上，這個(gè)結(jié)論可以推廣為：在周長相等的情況下，越接近圓的圖形面積就越大，如，第四節(jié)變換幾何

　　變換就是一個(gè)集合到另一個(gè)集合的映射。幾何變換、變換群的概念

　　幾何變換，就是將幾何圖形按照某種法則或規(guī)律變成另一種幾何圖形的過程。它對于幾何學(xué)的研究有重要作用。

　　變換群。實(shí)際上是滿足一定條件的若干變換組成的集合：如果某種幾何變換的全體組成一個(gè)群，就有相應(yīng)的幾何學(xué)，而討論在某種幾何變換群下圖形保持不變的性質(zhì)與不變量，就是相應(yīng)幾何學(xué)的主要內(nèi)容。

　　在初等幾何中，變換主要包括全等變換，相似變換，反演變換。

　　全等變換

　　如果從平面(空間)到其自身的映射，對于任意兩點(diǎn)A、B和它們的像A/，B/總有A/B/=AB。則這個(gè)映射叫做平面（空間）的全等變換，或叫做合同變換。在平面內(nèi)存在兩種全等變換，第一種叫做正常全等變換第二種叫做反常全等變換（鏡像全等變換）,它把一個(gè)圖形變成與它反常全等的圖形,即對于兩個(gè)全等的圖形上每兩個(gè)對應(yīng)三角形有相反的方向，并且每兩個(gè)對應(yīng)的有向角有相反的方向。相似變換，第一種叫做真正相似變換（正相似變換），第二種叫做鏡像相似變換（負(fù)相似變換）。真正相似變換把一個(gè)圖形變換成與它真正相似(正相似)的圖形,即使得兩個(gè)相似圖形的每對對應(yīng)三角形有同一的方向,每對對應(yīng)角有同一方向。反演變換

　　在平面內(nèi)設(shè)有一半徑為R，中心為O的圓，對于任一個(gè)異于O點(diǎn)的點(diǎn)P，將其變從認(rèn)知規(guī)律看，幾何學(xué)習(xí)的基本途徑,主要是四步：直觀感知→操作確認(rèn)→演繹推理→度量計(jì)算。

　　歐幾里得與演繹幾何

　　公理化方法淵源于幾何學(xué)，而幾何學(xué)起源于埃及。

　　希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得編成了《幾何原本》一書。這本書內(nèi)容豐富，結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)，對于幾何學(xué)的發(fā)展和幾何學(xué)的教學(xué)都起了巨大的作用，它被人們贊譽(yù)為歷史上的科學(xué)杰作。歐幾里得《原本》，原說有15卷，經(jīng)后人多方面考證，公認(rèn)只有13卷。歐幾里得《原本》對于幾何直觀、演繹推理進(jìn)行處理的利弊得失

　　《原本》作為教科書使用了兩千多年。在形成文字的教科書之中，無疑它是最成功的。歐幾里得的杰出工作，使以前類似的東西黯然失色。該書問世之后，很快取代了以前的幾何教科書，而后者也就很快在人們的記憶中消失了。在訓(xùn)練人的邏輯推理思維方面，換成該射線OP上一點(diǎn)P/，且使OP/OP=R，這個(gè)變換叫做平面反演變換。圓O叫做反演基圓，圓心O叫做反演中心或反演極，R叫做反演半徑或反演冪，反演變換將過反演中心的射線變成自身，且在此射線上建立對合對應(yīng)，它使位于圓內(nèi)的點(diǎn)變成圓外的點(diǎn),位于圓外的點(diǎn)變成圓內(nèi)的點(diǎn)，反演中心變成平面內(nèi)的無限遠(yuǎn)點(diǎn)。而反演圓上的點(diǎn)則保持不變�？臻g反演變換可以看作是平面反演變換繞反演基圓的直徑旋轉(zhuǎn)而得。反演變換下，將不過反演中心的直線或平面，分別變成過反演中心的圓或球面；將不過反演中心的圓或球面，分別變成另一個(gè)不過反演中心的圓或球面。反之，也成立。演變換是反向保角的，即使兩線（或兩面）所成的角度的大小保持不變，但方向相反。合同變換：平移，旋轉(zhuǎn)，反射平移、旋轉(zhuǎn)與反射的初步描述

　　圖形相似的思想方法體現(xiàn)在圖形相似的概念、性質(zhì)和處理問題的手段之中。我們可以將其歸結(jié)為如下五個(gè)方面：

　�。�1）圖形相似問題的核心往往在于三角形相似與成比例線段，體現(xiàn)出化歸思想

　　（2）圖形相似是反映大自然奧秘的一個(gè)窗口，圖形相似在自然、社會和人類生活中具有廣泛的普適性。

　　（3）結(jié)構(gòu)相同，即“同構(gòu)”，是圖形相似的重要特征之一。相似可以幫助我們從局部來研究整體。

　�。�4）圖形相似提供了認(rèn)識三角形的另一個(gè)途徑，三角形相似的判別方法可以強(qiáng)化我們對三角形構(gòu)成元素的認(rèn)識。

　�。�5）借助必要的工具和手段是學(xué)好圖形相似的必要前提。平面圖形初等變換之間的關(guān)系

　�。ㄒ唬┢揭�、旋轉(zhuǎn)、反射變換是全等變換

　�。ǘ�）平移、旋轉(zhuǎn)都可以由若干次反射（軸對稱）的復(fù)合而得到。

　　對于平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱（反射）來說，雖然三者都是全等變換，但是，容易發(fā)現(xiàn)，其中，軸對稱（變換）更為基本。

　�。�1）對同一個(gè)圖形連續(xù)進(jìn)行兩次軸對稱，如果兩個(gè)對稱軸互相平行，那么，這兩次軸對稱的結(jié)果等同于一次平移；

　�。�2）對同一個(gè)圖形連續(xù)進(jìn)行兩次軸對稱，如果兩個(gè)對稱軸相交，那么，這兩次軸對稱的結(jié)果等同于一次旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)中心就是兩條對稱軸的交點(diǎn)。反過來，對一個(gè)圖形實(shí)施一次平移，都可以通過連續(xù)的兩次軸對稱來替代完成；對一個(gè)圖形實(shí)施一次旋轉(zhuǎn)，可以通過連續(xù)的兩次軸對稱來完成。

　�。�3）任意一個(gè)合同變換至多可表示為三個(gè)反射的乘積。第五節(jié)演繹幾何《原本》比亞里土多德的任何一本有關(guān)邏輯的著作影響都大得多。在完整的演繹推理結(jié)構(gòu)方面，這是一個(gè)十分杰出的典范。正因?yàn)槿绱�，自本書問世以來，思想家們�(yōu)橹�而傾倒。公正地說，歐幾里得的這本著作是現(xiàn)代科學(xué)產(chǎn)生的一個(gè)主要因素。科學(xué)絕不僅僅是把經(jīng)過細(xì)心觀察的東西和小心概括出來的東西收集在一起而已�？茖W(xué)上的偉大成就，就其原因而言，一方面是將經(jīng)驗(yàn)同試驗(yàn)進(jìn)行結(jié)合；另一方面，需要細(xì)心的分析和演繹推理。可以肯定地說，這并非偶然。毫無疑問，像牛頓、加利略、白尼和凱普勒這樣的卓越人物所起的作用是極為重要的。也許一些基本的原因，可以解釋為什么這些出類拔革的人物都出現(xiàn)在歐洲，而不是東方�；蛟S，使歐洲人易于理解科學(xué)的一個(gè)明顯的歷史因素，是希臘的理性主義以及從希臘人那里流傳下來的數(shù)學(xué)知識。對于歐洲人來講，只要有了幾個(gè)基本的物理原理，其他都可以由此推演而來的想法似乎是很自然的事。因?yàn)樵谒麄冎�前有歐里得作為典范。

　　歐幾里得對牛頓的影響尤為明顯。牛頓的《數(shù)學(xué)原理》一書，就是按照類似于《原本》的“幾何學(xué)”的形式寫成的。自那以后，許多西方的科學(xué)家都效仿歐幾里得，說明他們的結(jié)論是如何從最初的幾個(gè)假設(shè)邏輯地推導(dǎo)出來的。許多數(shù)學(xué)家，像伯莎德羅素、阿爾弗雷德懷特海，以及一些哲學(xué)家，如斯賓諾莎也都如此。同中國進(jìn)行比較，情況尤為令人矚目。多少個(gè)世紀(jì)以來，中國在技術(shù)方面一直領(lǐng)先于歐洲。但是，從來沒有出現(xiàn)一個(gè)可以同歐幾里得對應(yīng)的中國數(shù)學(xué)家。其結(jié)果是，中國從未擁有過歐洲人那樣的數(shù)學(xué)理論體系（中國人對實(shí)際的幾何知識理解得不錯(cuò)，但他們的幾何知識從未被提高到演繹體系的高度）。直到1600年，歐幾里得才被介紹到中國來。此后，又用了幾個(gè)世紀(jì)的時(shí)間，他的演繹幾何體系才在受過教育的中國人之中普遍知曉。

　　如今，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)認(rèn)識到，歐幾里得的幾何學(xué)并不是能夠設(shè)計(jì)出來的惟一的一種內(nèi)在統(tǒng)一的幾何體系。在過去的150年間，人們已經(jīng)創(chuàng)立出許多非歐幾里得幾何體系。自從愛因斯坦的廣義相對論被接受以來，人們的確已經(jīng)認(rèn)識到，在實(shí)際的宇宙之中，歐幾里得的幾何學(xué)并非總是正確的。便如，在黑洞和中子星的周圍，引力場極為強(qiáng)烈。在這種情況下，歐幾里得的幾何學(xué)無法準(zhǔn)確地描述宇宙的情況。但是，這些情況是相當(dāng)特殊的。在大多數(shù)情況下，歐幾里得的幾何學(xué)可以給出十分近似于現(xiàn)實(shí)世界的結(jié)論。不管怎樣，人類知識的這些最新進(jìn)展都不會水削弱歐幾里得學(xué)術(shù)成就的光芒。也不會因此貶低他在數(shù)學(xué)發(fā)展和建立現(xiàn)代科學(xué)必不可少的邏輯框架方面的歷史重要性。愛因斯坦更是認(rèn)為，“如果歐幾里得未激發(fā)你少年時(shí)代的科學(xué)熱情，那你肯定不是天才科學(xué)家�！庇纱丝梢�，《原本》一書對人類科學(xué)思維的影響是何等巨大。

　　從數(shù)學(xué)教育的角度看，歐幾里得的邏輯結(jié)構(gòu)是串聯(lián)型而不是放射型的，《原本》的每一節(jié)都那么重要，一節(jié)學(xué)不好，繼續(xù)前進(jìn)的路就斷了，更令人頭痛的是它沒有提供一套強(qiáng)有力的、通用的解題方法。主要解題工具是三角形的全等和相似，而許多幾何圖形中不包含全等或相似三角形，因此，往往要作輔助線，從而幾何被公認(rèn)為難學(xué)的一門課程。值得一提的是，歐式幾何幾乎是歷次中外數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革的焦點(diǎn)�！对�本》幾乎包括了中小學(xué)所學(xué)習(xí)的平面幾何、立體幾何的全部內(nèi)容。如此古老的幾何內(nèi)容，自然成了歷次數(shù)學(xué)課程改革關(guān)注的焦點(diǎn)。其中，最為激進(jìn)的，如法國布爾巴基學(xué)派主要人物狄奧東尼，甚至喊出了“歐幾里得滾出去”的口號。但是，改來改去，歐幾里得幾何的一些內(nèi)容，仍然構(gòu)成了多數(shù)國家中小學(xué)數(shù)學(xué)幾何部分的主要內(nèi)容。有人稱之為“不倒翁現(xiàn)象”。這是因?yàn)椋瑲W氏幾何從數(shù)學(xué)的視角，提供了現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)基本模型，非常直觀地反映了我們?nèi)祟惖纳�存空間，刻畫了我們視覺所觀察到的物體形狀及其相互位置關(guān)系。所以，這個(gè)模型的基本內(nèi)容是學(xué)生能夠理解和掌握的，而且應(yīng)用廣泛的基礎(chǔ)知識。它比三種幾何的關(guān)系

　　歐氏幾何、羅氏幾何、黎曼幾何是三種各有區(qū)別的幾何。這三中幾何各自所有的命題都構(gòu)成了一個(gè)嚴(yán)密的公理體系，各公理之間滿足和諧性、完備性和獨(dú)立性。因此，這三種幾何都是正確的。在我們這個(gè)不大不小、不遠(yuǎn)不近的空間里，也就是在我們的日常生活中，歐式幾何是適用的；在宇宙空間中或原子核世界，羅氏幾何更符合客觀實(shí)際；在地球表面研究航海、航空等實(shí)際問題中，黎曼幾何更準(zhǔn)確一些。

　　義務(wù)教育階段幾何課程內(nèi)容的基本定位義務(wù)教育階段幾何課程設(shè)計(jì)的特點(diǎn)簡析義務(wù)教育階段幾何課程設(shè)計(jì)的特點(diǎn)與以往的綜合幾何課程設(shè)計(jì)風(fēng)格相比，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》下的幾何已經(jīng)將直觀幾何和實(shí)驗(yàn)幾何的觸角伸向了小學(xué)低年級，同時(shí)歐氏幾何的體系和內(nèi)容整體上還是基本保留的。只不過，具體的要求有所降低了，這種降低一方面體現(xiàn)在對推理幾何的難度要求有所限較適合中小學(xué)生學(xué)習(xí)，也有利于引導(dǎo)中小學(xué)生從形的角度去認(rèn)識我們周圍的物體和生活空間。

　　盡管歐氏幾何仍然具有難以替代的學(xué)習(xí)價(jià)值，但在以往的教學(xué)中，它又確實(shí)逐步暴露出一些問題，例如，內(nèi)容體系比較封閉，脫離實(shí)際，教學(xué)代價(jià)太大等等。①這些問題需要數(shù)學(xué)課程的設(shè)計(jì)者與數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐者共同去面對、去解決。一條途徑是教學(xué)法方面的改進(jìn)。首先是內(nèi)容的精簡與演繹體系的通俗化。如精選一些具有實(shí)用價(jià)值和對繼續(xù)學(xué)習(xí)發(fā)揮基礎(chǔ)作用的內(nèi)容，打破封閉的公理體系，擴(kuò)大公理系統(tǒng)，降低證明難度等等。其次是突出幾何事實(shí)與幾何應(yīng)用，重視幾何直觀，以及合情推理對于演繹推理的互補(bǔ)作用等非形式化策略。另一條途徑是，用近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)，高屋建瓴地處理傳統(tǒng)的內(nèi)容。其中幾何圖形的運(yùn)動變換觀點(diǎn)就是這樣的重要觀點(diǎn)之一。

　　從國際上數(shù)學(xué)課程改革的歷程來看，第二次世界大戰(zhàn)以后，特別是在上世紀(jì)60年代的“新數(shù)學(xué)”改革的浪潮中，將運(yùn)動觀點(diǎn)引入幾何，成了一種時(shí)尚。確實(shí)，圖形的變換是研究幾何問題的有效工具，引進(jìn)變換能使圖形動起來，有助于發(fā)現(xiàn)圖形的幾何性質(zhì)。相關(guān)的許多實(shí)驗(yàn)，有的因觀點(diǎn)太高而失敗，但也有許多成功的嘗試。特別是平移、旋轉(zhuǎn)以及軸對稱、中心對稱等觀念已被不少國家的中小學(xué)教材所吸收，并放在比較重要的位置。如果說，集合與對應(yīng)思想的滲透，在某種意義上給傳統(tǒng)算術(shù)與代數(shù)注入了新的血液，那么，運(yùn)動變換觀點(diǎn)的滲透，則在一定程度上給歐氏幾何提供了更高的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)和更新的研究視野。

　　對第五公設(shè)是否獨(dú)立的研究導(dǎo)致了非歐幾何的發(fā)現(xiàn)。

　　非歐幾何，即非歐幾里得幾何，是一門大的數(shù)學(xué)分支，一般來講，它有廣義、狹義、通常意義這三個(gè)方面的不同含義。廣義式泛指一切和歐幾里得幾何不同的幾何學(xué)，狹義的非歐幾何只是指羅氏幾何來說的，至于通常意義的非歐幾何，就是指羅氏幾何和黎曼幾何這兩種幾何。羅巴切夫斯基幾何

　　家羅巴切夫斯基發(fā)現(xiàn)非歐幾何--羅氏幾何為止，肯定了第五公設(shè)與歐氏系統(tǒng)的其余公理是獨(dú)立無關(guān)的。黎曼幾何

　　歐氏幾何與羅氏幾何中關(guān)于結(jié)合公理、順序公理、連續(xù)公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一樣。在同一平面內(nèi)任何兩條直線都有公共點(diǎn)(交點(diǎn))。在黎曼幾何學(xué)中不承認(rèn)平行線的存在，它的另一條公設(shè)講：直線可以無限延長，但總的長度是有限的。黎曼幾何的模型是一個(gè)經(jīng)過適當(dāng)“改進(jìn)”的球面。制，另一方面體現(xiàn)在，弱化了相似形和圓的證明部分。同時(shí)，弱化了的部分也還會在高中繼續(xù)出現(xiàn)。

　　新理念下義務(wù)教育階段幾何課程設(shè)計(jì)的突出特點(diǎn)體現(xiàn)為：以“立體平面立體”為主要線索，強(qiáng)調(diào)與學(xué)生生活的聯(lián)系；適當(dāng)?shù)赝貙捇顒宇I(lǐng)域，包括圖形的認(rèn)識，圖形的變換，圖形與位置等方面；以實(shí)際操作、測量、簡單推理為具體處理方式，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的直觀體驗(yàn)學(xué)習(xí)的方法；注重發(fā)展的空間觀念，發(fā)展對圖形的審美能力；強(qiáng)調(diào)幾何真理的發(fā)現(xiàn)和幾何論證并舉，主張建立在幾何直觀和豐富幾何活動經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上的幾何推理的學(xué)習(xí)。

　　幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀不僅在“圖形與幾何”的學(xué)習(xí)中，而且在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。

　　推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理。合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納和類比等推測某些結(jié)果。演繹推理是從已有的事實(shí)（包括定義、公理、定理等）出發(fā)，按照規(guī)定的法則證明（包括邏輯和運(yùn)算）結(jié)論。在解決問題的過程中，合情推理有助于探索解決問題的思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論的正確性。

　　直觀幾何、實(shí)驗(yàn)幾何課程設(shè)計(jì)特點(diǎn)與綜合幾何的差異

　　與綜合幾何相比，直觀幾何、實(shí)驗(yàn)幾何有著更現(xiàn)實(shí)的意義和課程設(shè)計(jì)的特色：

　　1．不同的課程目標(biāo)和價(jià)值取向

　　從課程設(shè)計(jì)的角度看，直觀幾何與實(shí)驗(yàn)幾何更接近于認(rèn)知發(fā)展取向的課程設(shè)計(jì)模式，而綜合幾何屬于典型的學(xué)術(shù)主義價(jià)值取向的課程設(shè)計(jì)模式。

　　2．不同的教育學(xué)、心理學(xué)基礎(chǔ)和不同的師生關(guān)系

　　以論證為主的綜合幾何課程設(shè)計(jì)，立足于行為主義心理學(xué)，主張師生之間建立“以教為主、以教促學(xué)”的師生關(guān)系。相比之下，直觀幾何、實(shí)驗(yàn)幾何課程設(shè)計(jì)觀認(rèn)為，有意義的幾何教學(xué)應(yīng)當(dāng)建立在學(xué)生的主觀意愿和知識、經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上，依賴學(xué)生的動手實(shí)踐、自主探索和交流合作，教師在教學(xué)中的角色應(yīng)該定位在學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者和合作者、參與者，注意學(xué)生在學(xué)習(xí)中所處的不同文化環(huán)境、教室文化、社區(qū)文化、家庭文化及自身思維模式的共性與差異，師生之間、學(xué)生之間應(yīng)該努力構(gòu)建一種和諧、互動的新關(guān)系。

　　3．不同的課程設(shè)計(jì)風(fēng)格

　　在課程論中，課程有學(xué)科型課程與經(jīng)驗(yàn)型課程之分。除了學(xué)科型課程和經(jīng)驗(yàn)型課程外，大多數(shù)課程介于兩者之間。直觀幾何、實(shí)驗(yàn)幾何屬于典型的經(jīng)驗(yàn)型課程，而綜合幾何屬于典型的學(xué)科型課程。當(dāng)前，我國實(shí)行的義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書大多介于學(xué)科型課程與經(jīng)驗(yàn)型課程之間，只不過，有的更靠近后者，即比較“前衛(wèi)”，而有的更靠近前者，“中規(guī)中矩”。

　　4．不同的教學(xué)要求

　　在直觀幾何、實(shí)驗(yàn)幾何課程實(shí)施過程中，學(xué)生的直觀感受和幾何活動經(jīng)驗(yàn)是學(xué)習(xí)的基本出發(fā)點(diǎn)和必不可少的載體，而且直觀教學(xué)變得十分重要。在這種課程設(shè)計(jì)時(shí)，有的是在抽象的學(xué)科主線中不斷閃現(xiàn)出內(nèi)容豐富的情景問題，有的是把豐富的情景問題沿幾何的主線逐步鑲嵌與展開。幾何學(xué)是研究平面圖形的形狀、大小和位置關(guān)系的科學(xué)，培養(yǎng)和提高學(xué)生識圖、作圖能力是學(xué)好幾何的必要環(huán)節(jié)。因而，在直觀幾何、實(shí)驗(yàn)幾何課程設(shè)計(jì)模式下，采用直觀教學(xué)至關(guān)重要，可使學(xué)生一開始便進(jìn)入到直觀教學(xué)所創(chuàng)設(shè)的情盡管全國初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書彼此之間都有差異，但是，發(fā)展幾何直觀與推理

　　能力是普遍趨勢。第三章統(tǒng)計(jì)與概率

　　準(zhǔn)確理解數(shù)學(xué)、概率、統(tǒng)計(jì)之間的關(guān)系

　�。ㄒ唬┭芯繂栴}的出發(fā)點(diǎn)不同數(shù)學(xué)研究的對象是從現(xiàn)實(shí)生活中抽象出來的數(shù)和圖形。數(shù)學(xué)研究問題必須有定義，即數(shù)學(xué)研究問題的出發(fā)點(diǎn)是定義，沒有定義無法進(jìn)行數(shù)學(xué)的研究。統(tǒng)計(jì)研究所依賴的是模型，構(gòu)建一些模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行研究。但是，統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)有著密切的聯(lián)系，我們拿來數(shù)學(xué)的很多知識、思想方法作為統(tǒng)計(jì)分析的工具。

　　（二）研究問題的立論基礎(chǔ)不同從數(shù)量和數(shù)量關(guān)系這個(gè)角度考慮，數(shù)學(xué)是建立在概念和符號的基礎(chǔ)上的。而統(tǒng)計(jì)學(xué)是建立在數(shù)據(jù)和模型的基礎(chǔ)上，雖然概念和符號對于統(tǒng)計(jì)學(xué)的發(fā)展也是重要的，但是統(tǒng)計(jì)學(xué)在本質(zhì)上是通過數(shù)據(jù)和模型進(jìn)行推斷的。

　　境之中，耳濡目染，受到感染，教師若采用圖片直觀，便可展現(xiàn)情景，給學(xué)生以鮮明生動的形象，學(xué)生的注意力很快被吸引到圖片所展示的情境中。如何理解初中幾何及推理

　　新理念下義務(wù)教育階段幾何課程設(shè)計(jì)的突出特點(diǎn)體現(xiàn)為：以“立體平面立體”為主要線索，強(qiáng)調(diào)與學(xué)生生活的聯(lián)系；適當(dāng)?shù)赝貙捇顒宇I(lǐng)域，包括圖形的認(rèn)識，圖形的變換，圖形與位置等方面；以實(shí)際操作、測量、簡單推理為具體處理方式，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的直觀體驗(yàn)（幾何課與實(shí)際活動課有天然的聯(lián)系）學(xué)習(xí)的方法（即“操作”+“推理”）；注重發(fā)展的空間觀念，發(fā)展對圖形的審美能力；強(qiáng)調(diào)幾何真理的發(fā)現(xiàn)和幾何論證并舉，主張建立在幾何直觀和豐富幾何活動經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上的幾何推理的學(xué)習(xí)。

　　初中階段屬于從直觀幾何、實(shí)驗(yàn)幾何逐步過渡到綜合幾何、論證幾何的關(guān)鍵階段，七年級仍是直觀幾何、實(shí)驗(yàn)幾何，但包含一點(diǎn)點(diǎn)說理，而九年級已經(jīng)是綜合幾何、推理幾何，雖然其公理體系與歐式公理體系有所不同。

　　在義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)下，“圖形與幾何”主要內(nèi)容有：空間和平面基本圖形的認(rèn)識，圖形的性質(zhì)、分類和度量；圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱、相似和投影；平面圖形基本性質(zhì)的證明；運(yùn)用坐標(biāo)描述圖形的位置和運(yùn)動。

　　在“圖形與幾何”的核心課程教學(xué)在于：幫助學(xué)生建立空間觀念，注重培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀與推理能力。

　　如何理解初中幾何的核心目標(biāo)發(fā)展幾何直觀與推理能力

　　在“圖形與幾何”的教學(xué)中，應(yīng)幫助學(xué)生建立空間觀念，注重培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀與推理能力�？臻g觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運(yùn)動和變化；依據(jù)語言描述畫出圖形等。幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀不僅在“圖形與幾何”的學(xué)習(xí)中，而且在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理。合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納和類比等推測某些結(jié)果。演繹推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，按照規(guī)定的法則證明結(jié)論。在解決問題的過程中，合情推理有助于探索解決問題的思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論的正確性�；�于此，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》把認(rèn)識或把握空間與圖形作為主旋律，以圖形的認(rèn)識、圖形與變換、圖形與位置（坐標(biāo)）、圖形與證明四條線索展開空間與圖形的內(nèi)容。

　�。ㄈ�）研究問題的方法不同與概念和符號相對應(yīng)，數(shù)學(xué)的推理依賴的是公理和假設(shè)，是一個(gè)從一般到特殊的方法，而統(tǒng)計(jì)學(xué)的推斷依賴的是數(shù)據(jù)和數(shù)據(jù)產(chǎn)生的背景，強(qiáng)調(diào)根據(jù)背景尋找合適的推斷方法，是一個(gè)從特殊到一般的方法。

　　（四）研究問題的判斷原則不同數(shù)學(xué)在本質(zhì)上是確定性的，它對結(jié)果的判斷標(biāo)準(zhǔn)是對與錯(cuò)，從這個(gè)意義上說，數(shù)學(xué)是一門科學(xué)，而統(tǒng)計(jì)學(xué)是通過數(shù)據(jù)來推斷數(shù)據(jù)產(chǎn)生的背景，即便是同樣的數(shù)據(jù)，也允許人們根據(jù)自己的理解提出不同的推斷方法，給出不同的推斷結(jié)果，統(tǒng)計(jì)學(xué)對結(jié)果的判斷標(biāo)準(zhǔn)是好與壞，從這個(gè)意義上說，統(tǒng)計(jì)學(xué)不僅是一門科學(xué)，也是一門藝術(shù)。

　　數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法的基本步驟建立數(shù)學(xué)模型，收集整理數(shù)據(jù)，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷、預(yù)測和決策。當(dāng)然，這些環(huán)節(jié)不能截然分開，也不一定按上述次序，有時(shí)是互相交錯(cuò)的。

　�。�1）模型的選擇和建立。模型是指關(guān)于所研究總體的某種假定，一般是給總體分布規(guī)定一定的類型。建立模型要依據(jù)概率的知識、所研究問題的專業(yè)知識、以往的經(jīng)驗(yàn)以及從總體中抽取的樣本。

　�。�2）數(shù)據(jù)的收集。其方法主要包括全面觀測、抽樣觀測和安排特定的實(shí)驗(yàn)3種方式。全面觀測又稱普查，即對總體中每個(gè)個(gè)體都加以觀測，測定所需要的指標(biāo)。抽樣觀測又稱抽查，是指從總體中抽取一部分，測定其有關(guān)的指標(biāo)值。這方面的研究內(nèi)容構(gòu)成數(shù)理統(tǒng)計(jì)的一個(gè)分支學(xué)科。叫抽樣調(diào)查。

　　（3）安排特定實(shí)驗(yàn)以收集數(shù)據(jù)，這些特定的實(shí)驗(yàn)要有代表性，并使所得數(shù)據(jù)便于進(jìn)行分析。

　�。�4）數(shù)據(jù)整理。目的是把包含在數(shù)據(jù)中的有用信息提取出來。一種形式是制定適當(dāng)?shù)膱D表，如散點(diǎn)圖，以反映隱含在數(shù)據(jù)中的粗略的規(guī)律性或一般趨勢。另一種形式是計(jì)算若干數(shù)字特征，以刻畫樣本某些方面的性質(zhì)，如樣本均值、樣本方差等簡單描述性統(tǒng)計(jì)量。

　　（5）統(tǒng)計(jì)推斷。指根據(jù)總體模型以及由總體中抽出的樣本，做出有關(guān)總體分布的某種論斷。數(shù)據(jù)的收集和整理是進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷的必要準(zhǔn)備，統(tǒng)計(jì)推斷是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的主要任務(wù)。

　　（6）統(tǒng)計(jì)預(yù)測。統(tǒng)計(jì)預(yù)測的對象，是隨機(jī)變量在未來某個(gè)時(shí)刻所取的值，或設(shè)想在某種條件下對該變量進(jìn)行觀測時(shí)將取的值。

　　（7）統(tǒng)計(jì)決策。依據(jù)所做的統(tǒng)計(jì)推斷或預(yù)測，并考慮到行動的后果而制定的一種行動方案。初中統(tǒng)計(jì)與概率的課程內(nèi)容主要內(nèi)容包括：

　　描述統(tǒng)計(jì)的進(jìn)一步擴(kuò)展----描述統(tǒng)計(jì)的基本目標(biāo)在于以最簡單而直觀的形式最大限度地容納有用的數(shù)據(jù)。

　　滲透數(shù)理統(tǒng)計(jì)思想----數(shù)理統(tǒng)計(jì)與描述統(tǒng)計(jì)的根本區(qū)別在于總體與樣本概念的引入，它的基本思想是通過對樣本的分析來推斷總體的特性。這部分的一個(gè)核心的內(nèi)容是抽樣，如何抽樣、抽樣的過程、樣本的多少是收集數(shù)據(jù)的一個(gè)關(guān)鍵問題。學(xué)習(xí)概率的初步內(nèi)容-----包括運(yùn)用列表、畫樹狀圖、制作面積模型、簡單計(jì)算等方法得到一些事件發(fā)生的概率；通過實(shí)驗(yàn)，獲得事件發(fā)生的頻率；知道大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)頻率可作為事件發(fā)生概率的估計(jì)值；通過大量豐富的實(shí)例，進(jìn)一步豐富對概率的認(rèn)識，并能解決一些實(shí)際的問題。

　　普查：為了一定的目的而對考察對象進(jìn)行的全面調(diào)查，稱為普查.總體：所考察對象的全體稱為總體。個(gè)體：組成總體的每一個(gè)考察對象稱為個(gè)體。抽樣調(diào)查：從總體中抽取部分個(gè)體進(jìn)行調(diào)查，這種調(diào)查稱為抽樣調(diào)查。樣本：從總體中抽取部分個(gè)體叫做總體的一個(gè)樣本。樣本容量：樣本中個(gè)體的數(shù)量叫樣本容量。隨機(jī)事件和樣本空間

　　在一定條件實(shí)現(xiàn)后，可能產(chǎn)生也可能不產(chǎn)生的現(xiàn)象，人們稱之為隨機(jī)現(xiàn)象。具備以下三個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)：

　　信息。眾數(shù)只與其在數(shù)據(jù)中重復(fù)的次數(shù)有關(guān)，而且往往不是唯一的。但不能充分利用所有的數(shù)據(jù)信息，而且當(dāng)各個(gè)數(shù)據(jù)的重復(fù)次數(shù)大致相等時(shí)，眾數(shù)往往沒有特別的意義。數(shù)據(jù)的離散程度

　　極差是指一組數(shù)據(jù)中的最大值減去最小值所得的差。它可以反映一組數(shù)據(jù)的變化范圍。方差是指一組數(shù)據(jù)中的平均數(shù)與每一個(gè)數(shù)據(jù)之差的平方和的平均數(shù)。

　　樣本數(shù)據(jù)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都是衡量一個(gè)樣本波動大小的量，樣本方差或樣本標(biāo)準(zhǔn)差越大，樣本數(shù)據(jù)的波動就越大。加權(quán)平均數(shù)的概念

　　加權(quán)平均數(shù)是不同比重?cái)?shù)據(jù)的平均數(shù)，加權(quán)平均數(shù)就是把原始數(shù)據(jù)按照合理的比例來計(jì)算，即一組數(shù)據(jù)的每個(gè)數(shù)乘以它的權(quán)重后所得積的總和。平均數(shù)稱之為算術(shù)平均數(shù)，是加權(quán)平均數(shù)的一種特殊情況，加權(quán)平均數(shù)包含算術(shù)平均數(shù)，

　　(1)可在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；

　　〔2)每次試驗(yàn)可出現(xiàn)不同的結(jié)果，最終出現(xiàn)哪種結(jié)果，試驗(yàn)之前不能確定；

　　(3)事先知道試驗(yàn)可能出現(xiàn)的全部結(jié)果。隨機(jī)事件隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能的結(jié)果稱為一個(gè)隨機(jī)事件

　　樣本空間由樣本空間的子集可描述隨機(jī)試驗(yàn)中所對應(yīng)的一切隨機(jī)事件。數(shù)據(jù)的收集

　　數(shù)據(jù)收集方法有兩種：調(diào)查和實(shí)驗(yàn)。在現(xiàn)實(shí)生活中原來就有的數(shù)據(jù)，人們通過調(diào)查獲得，例如，普查，即為一特定目的而對所有考察對象的全面調(diào)查；抽樣調(diào)查，即為一特定目的而對部分考察對象作調(diào)查。三種常用抽樣方法是：隨機(jī)抽樣法、分層抽樣法和系統(tǒng)抽樣法。

　　數(shù)據(jù)的隨機(jī)性主要有兩層涵義：

　　一方面，對于同樣的事情，每次收集到的數(shù)據(jù)可能會是不同的；

　　另一方面，只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。數(shù)據(jù)的整理和分析

　　數(shù)據(jù)分析觀念主要體現(xiàn)在三個(gè)方面：

　　第一，了解在現(xiàn)實(shí)生活中有許多問題應(yīng)當(dāng)先做調(diào)查研究，收集數(shù)據(jù)，通過分析作出判斷，體會數(shù)據(jù)中是蘊(yùn)含著信息的；

　　第二，了解對于同樣的數(shù)據(jù)可以用多種分析的方法，需要根據(jù)問題的背景選擇合適的方法；

　　第三，通過數(shù)據(jù)分析體驗(yàn)隨機(jī)性。

　　理解兩種估計(jì)方法，一種是用樣本的頻率分布來估計(jì)總體的分布，另一種是用樣本的集中趨勢（平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)）和離散程度（極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差）來估計(jì)總體的集中程度和離散程度。頻數(shù)和頻率

　　我們稱每個(gè)對象出現(xiàn)的次數(shù)為頻數(shù)，也稱次數(shù)。頻數(shù)也稱“次數(shù)”，對總數(shù)據(jù)按某種標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分組，統(tǒng)計(jì)出各個(gè)組內(nèi)含個(gè)體的個(gè)數(shù)。而頻率則每個(gè)小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)的比值。數(shù)據(jù)的集中趨勢在統(tǒng)計(jì)學(xué)中是指一組數(shù)據(jù)向某一中心值靠攏的程度，它反映了一組數(shù)據(jù)中心點(diǎn)的位置所在。反映數(shù)據(jù)集中趨勢的度量包括平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)等。平均數(shù)一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是用這組數(shù)據(jù)的總和除以這組數(shù)據(jù)的總個(gè)數(shù)得到的值。中位數(shù)，就是將這組數(shù)據(jù)從小到達(dá)排列后，位于正中間的數(shù)（或中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)）。眾數(shù)，是指一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)就是這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)頻數(shù)最多的數(shù)。平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別

　　聯(lián)系：從不同角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢。區(qū)別：計(jì)算平均數(shù)時(shí)，所有數(shù)據(jù)都參加運(yùn)算，它能充分利用數(shù)據(jù)所提供的信息，但容易受極端值的影響。它應(yīng)用最為廣泛。中位數(shù)的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算簡單，只與其在數(shù)據(jù)中的位置有關(guān)。但不能充分利用所有的數(shù)據(jù)當(dāng)加權(quán)平均數(shù)中的權(quán)相等時(shí)，就是算術(shù)平均數(shù)。

　　統(tǒng)計(jì)表不僅反映某一類事物的具體數(shù)據(jù)，而且還能說明有關(guān)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系。統(tǒng)計(jì)圖是借助于幾何線、形(線段、長方形、三角形、圓形等)以及事物的形象等形式，顯示收集到的數(shù)據(jù)信息，直觀地反映其規(guī)模、水平、構(gòu)成、相互關(guān)系、發(fā)展變化趨勢和分布狀況，即是根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)所繪制的圖形。條形圖是以簡單的幾何圖形，即等寬條形的長短或高低來比較數(shù)據(jù)所隱含信息的統(tǒng)計(jì)圖示法分為單式條形圖、復(fù)式條形圖、分段條形圖、對稱條形圖、距限條形圖、累積條形圖等。

　　直方圖有兩種，頻數(shù)直方圖和頻率直方圖。頻數(shù)直方圖與頻率直方圖既有聯(lián)系，又有區(qū)別。

　　扇形圖用圓和扇形分別表示關(guān)于總體和各個(gè)組成部分?jǐn)?shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)圖叫做扇形統(tǒng)計(jì)圖。扇形圖能直觀地、生動地反映各部分在總體中所占的比例。

　　扇形統(tǒng)計(jì)圖具有四個(gè)特點(diǎn)：

　　一是利用圓和扇形來表示總體和部分的關(guān)系，

　　二是圓代表總體，各個(gè)扇形分別表示總體中不同的部分；

　　三是扇形的大小反映部分占總體的百分比的大小，

　　四是各個(gè)扇形所占的百分比之和為1；最后，在不同的統(tǒng)計(jì)圖中，不能簡單地根據(jù)百分比的大小來比較部分量的大小。折線統(tǒng)計(jì)圖

　　用一個(gè)單位長度表示一定的數(shù)量，根據(jù)數(shù)量的多少描出各點(diǎn)，然后把各點(diǎn)用線段順次連接起來，折線統(tǒng)計(jì)圖不但可以表示出數(shù)量的多少，還能夠清楚地表示出數(shù)量的增減變化情況，并且可以進(jìn)行簡單的預(yù)測。折線統(tǒng)計(jì)圖可分為單式折線圖或復(fù)式折線圖。統(tǒng)計(jì)是對隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律歸納的研究，而概率是對隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律演繹的研究，在解決實(shí)際問題時(shí)，二者是相輔相成、互相關(guān)聯(lián)的

　　隨機(jī)事件的概率，實(shí)質(zhì)上是指在客觀世界中，這個(gè)事件發(fā)生可能性大小的一個(gè)數(shù)量刻畫。

　　概率的定義

　　頻率是指事件發(fā)生的次數(shù)在全部試驗(yàn)次數(shù)中占的比例，所以頻率能夠反映該事件發(fā)生的可能性大小。即一般地，在大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí)，事件A發(fā)生的頻率總是趨近某個(gè)常數(shù)，在它附近擺動，這時(shí)就把這個(gè)常數(shù)叫做事件A的概率，記作P(A).概率的公理化定義樣本點(diǎn)全集叫做必然事件，空集叫做不可能事件。正確理解隨機(jī)性與概率

　�。�1）隨機(jī)性和規(guī)律性。

　　（2）概率和機(jī)會。從某種意義說來，概率描述了某件事

　　情發(fā)生的機(jī)會

　�。�3）有些概率是無法精確推斷的。

　�。�4）有些概率是可以估計(jì)的。隨機(jī)結(jié)果也具有規(guī)律，而且有可能通過試驗(yàn)等方法來推測其規(guī)律。我們就是要通過觀測數(shù)據(jù)，在隨機(jī)性中尋找用概率和數(shù)學(xué)模型描述的規(guī)律性

　　小概率原理是統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)（統(tǒng)計(jì)中的反證法）的基礎(chǔ)和依據(jù)。小概率原理是指在一次試驗(yàn)中，小概率事件幾乎不可能發(fā)生�！稊�(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》認(rèn)為，“統(tǒng)計(jì)與概率”應(yīng)當(dāng)是初中課程內(nèi)容的重要組成部分。不僅如此，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》將“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容從第一學(xué)段連續(xù)編排到初中，并且規(guī)定，在初中，學(xué)生將從事數(shù)據(jù)的收集、整理與描述的過程，體會抽樣的必要性以及用樣本估計(jì)總體的思想，進(jìn)一步學(xué)習(xí)描述數(shù)據(jù)的方法，進(jìn)一步體會概率的意義，能計(jì)算簡單事件發(fā)生的概率�！洞缶V》沒有涉及“概率”內(nèi)容，僅僅在初中階段引入“統(tǒng)計(jì)初步”，并且將“統(tǒng)計(jì)初步”放入“代數(shù)的第（十三）部分”在《大綱》中，“統(tǒng)計(jì)初步”的定位是：使學(xué)生了解統(tǒng)計(jì)的展這一活動，有以下幾個(gè)步驟：

　　第一，學(xué)生觀察一件物體或一種現(xiàn)象，或者操作某些學(xué)具。

　　第二，學(xué)生在研究所觀察的物體或現(xiàn)象的過程中進(jìn)行思考，與同伴進(jìn)行討論和交流，以彌補(bǔ)他們在單純的觀察和操作活動中的不足。

　　第三，老師按一定的順序給學(xué)生們推薦活動，學(xué)生可從中作出選擇并實(shí)施這些活動，學(xué)生在選擇中有較強(qiáng)的自主性。

　　第四，這一活動可以以課內(nèi)外相結(jié)合的形式進(jìn)行，學(xué)生每周至少花兩個(gè)小時(shí)進(jìn)行同一個(gè)主題的活動，并應(yīng)保證這些活動在整個(gè)學(xué)習(xí)進(jìn)程中的持續(xù)性和穩(wěn)定性。

　　第五，每個(gè)學(xué)生都記錄活動過程。通過這一活動，學(xué)生逐漸學(xué)會操作，同時(shí)加強(qiáng)和鞏固口頭和書面表達(dá)能力，發(fā)展解決問題的能力，增進(jìn)對數(shù)學(xué)的理解力。如何理解數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)

　　思想，掌握一些常用的數(shù)據(jù)處理方法，能夠用統(tǒng)計(jì)的初步知識解決一些簡單的實(shí)際問題。簡單的平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)

　　所謂加權(quán)平均數(shù)，是指各個(gè)數(shù)據(jù)的“份量”不同，有的重要些，有的輕些，將它們的重要性用“權(quán)重”表示，即加上各個(gè)數(shù)據(jù)在全體數(shù)據(jù)中占有的比例（頻率）再作和。數(shù)學(xué)期望的定義事前預(yù)期的好處，就叫做這件事情的期望值。第四章實(shí)踐與綜合

　　設(shè)置“實(shí)踐與綜合”領(lǐng)域目的在于體現(xiàn)其橋梁作用（即，數(shù)學(xué)不同領(lǐng)域之間的橋梁作用以及數(shù)學(xué)與外部之間橋梁作用）和綜合價(jià)值，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識、技能、思想、方法等解決現(xiàn)實(shí)問題，幫助學(xué)生積累直接的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展學(xué)生的綜合能力。關(guān)于“實(shí)踐與綜合”的教育價(jià)值和課程目標(biāo)

　　教育價(jià)值實(shí)踐與綜合領(lǐng)域的存在，溝通了現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)學(xué)與課堂上的數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系。另一方面，綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題也必將給學(xué)生的學(xué)習(xí)方式帶來改變。使學(xué)生發(fā)展了意志力、自信心和不斷質(zhì)疑的態(tài)度，發(fā)展了運(yùn)用數(shù)學(xué)進(jìn)行思考和交流的能力。

　　課程目標(biāo)《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對這個(gè)領(lǐng)域的課程設(shè)計(jì)提出了的總的要求：幫助學(xué)生綜合運(yùn)用已有的知識和經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)過自主探索和合作交流，解決與生活經(jīng)驗(yàn)密切聯(lián)系的、具有一定挑戰(zhàn)性和綜合性的問題，以發(fā)展他們解決問題的能力，加深對“數(shù)與代數(shù)”、“圖形與幾何”、“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容的理解，體會各部分內(nèi)容之間的聯(lián)系�！皩�(shí)踐與綜合”在不同階段不同的呈現(xiàn)形式第一學(xué)段以“實(shí)踐活動”為主題，第二學(xué)段以“綜合應(yīng)用”為主題，第三學(xué)段(即初中階段)以“課題學(xué)習(xí)”為主題。

　　在初中數(shù)學(xué)中，課題學(xué)習(xí)的主要形式有三種基本方式：

　　數(shù)學(xué)小調(diào)查。數(shù)學(xué)小調(diào)查是指學(xué)生在教師指導(dǎo)下，從學(xué)習(xí)生活和社會生活中選擇和確定調(diào)查專題，主動獲得信息、分析信息并做出決策的學(xué)習(xí)活動。數(shù)學(xué)調(diào)查可以包括三個(gè)階段，第一，進(jìn)入問題情境階段；第二，收集信息的階段；第三，表達(dá)和交流階段。這種活動具有開放性、問題性和社會性的特點(diǎn)。

　　小課題研究�；顒踊�本過程如下：各小組確定活動目標(biāo)；根據(jù)目標(biāo)確定本組活動內(nèi)容；在老師指導(dǎo)下實(shí)際調(diào)查。合作交流。

　　動手做(Handson)的活動。意思是動手活動，目的在于讓學(xué)生以更科學(xué)的方法學(xué)習(xí)知識，尤其強(qiáng)調(diào)對學(xué)生學(xué)習(xí)方法、思維方法、學(xué)習(xí)態(tài)度的培養(yǎng)�；�本過程是：提出問題動手做實(shí)驗(yàn)觀察記錄解釋討論得出結(jié)論表達(dá)陳述。具體地說，開

　　數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)主要針對我國中學(xué)教育中出現(xiàn)的若干弊端，為實(shí)施以創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力為重點(diǎn)的素質(zhì)教育而提出來的，其根本目的是讓學(xué)生親歷研究過程，獲得對客觀世界的體驗(yàn)和正確認(rèn)識，通過自由、自主的探究過程，綜合性地提高整體素質(zhì)和能力。因此，研究性學(xué)習(xí)的重點(diǎn)在“學(xué)習(xí)”，研究是手段、途徑，而不是目的。數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的內(nèi)涵

　　以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識和實(shí)踐能力為目的，它主要通過與數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容相關(guān)的課題，在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生為主體地參與、體驗(yàn)問題提出和解決的全過程。使學(xué)生不但發(fā)展了思維能力，而且逐漸領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)科學(xué)研究的基本過程和方法，提高學(xué)生的科數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的目的

　　1.讓學(xué)生經(jīng)歷科學(xué)研究的過程，獲得親身參與研究和探索的體驗(yàn)。

　　2.了解科學(xué)研究的方法，提高發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力。

　　3.學(xué)會與人溝通和合作，學(xué)會分享。合作的意識和能力，是現(xiàn)代人所應(yīng)具備的基本素質(zhì)，而研究性學(xué)習(xí)提供了一個(gè)有利于人際溝通與合作的良好空間。

　　4.增強(qiáng)探究和創(chuàng)新意識，培養(yǎng)科學(xué)態(tài)度、科學(xué)精神和科學(xué)道德。在研究性學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生不可避免地會遇到一系列的問題和困難，學(xué)生必須學(xué)會從實(shí)際出發(fā)，通過認(rèn)真踏實(shí)地探究，事實(shí)求是地得出結(jié)論，并且養(yǎng)成尊重他人的想法和成果的正確態(tài)度，同時(shí)培養(yǎng)不斷追求的進(jìn)取精神、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度、克服困難的意志品質(zhì)等。

　　5.培養(yǎng)學(xué)生對社會的責(zé)任心和使命感形成積極的人生態(tài)度。

　　6.促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)，掌握和運(yùn)用一種現(xiàn)代學(xué)習(xí)方式。

　　7.激活各科學(xué)習(xí)中的知識儲備，嘗試相關(guān)知識的綜合運(yùn)用。8.促進(jìn)教師教學(xué)觀念和教學(xué)行為的變化，提升教師的綜合素質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，推進(jìn)素質(zhì)教育的全面實(shí)施。

　　初中數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)主題分為建模探究型、圖表探究型、調(diào)查探究型、開放探究型四種類型。

　�。�1）建模探究型：以學(xué)生動手操作、合作探討、設(shè)計(jì)制作模型為主，教師給予指導(dǎo)、總結(jié)、評價(jià)。

　�。�2）圖表探究型：以學(xué)生觀察、分析數(shù)學(xué)圖表、探究解決問題的方法為主，教師提示結(jié)合相關(guān)知識分析、探究、解決問題。例如，數(shù)學(xué)圖表的制作：“制作人口圖”。

　�。�3）開放探究型：以學(xué)生自主分析、小組討論交流、大膽猜想、探究論證為主，教師給予必要的概括、提升和拓展。例如，趣味數(shù)學(xué)問題：猜想、證明、拓廣。

　　（4）調(diào)查探究型：以學(xué)生調(diào)查實(shí)踐、自主分析、探究實(shí)踐的方式和方法為主，教師適時(shí)引導(dǎo)、提示、總結(jié)。數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的特點(diǎn)

　　1.探究性。探究是人類認(rèn)識世界的一種基本方式，處于基礎(chǔ)教育階段的初中生對外部

　　世界仍充滿強(qiáng)烈的新奇感和探究欲，數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)正好適應(yīng)學(xué)習(xí)者個(gè)體發(fā)展的需要和認(rèn)識規(guī)律。

　　2.全員參與性。研究性學(xué)習(xí)主張全體學(xué)生的積極參與，它有別于培養(yǎng)天才兒童的超常教育。全員參與的另一層含義是共同參與。研究性學(xué)習(xí)的組織形式是獨(dú)立學(xué)習(xí)與合作學(xué)習(xí)的結(jié)合，其中合作學(xué)習(xí)占有重要的地位。

　　3.開放性。數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)是一種開放性、參與性的教學(xué)形式，為了研究有關(guān)生活中的數(shù)學(xué)問題或從數(shù)學(xué)角度對其它學(xué)科中出現(xiàn)的問題進(jìn)行研究。

　　4.過程性。要求學(xué)生把自己所得出的結(jié)論運(yùn)用到現(xiàn)實(shí)生活中去，解決現(xiàn)實(shí)生活中涉及到的數(shù)學(xué)問題，強(qiáng)調(diào)學(xué)生參與的過程。

　　5.應(yīng)用性。學(xué)以致用是研究性學(xué)習(xí)的又一基本特征。研究性學(xué)習(xí)重在知識技能的應(yīng)用，而不在于掌握知識的量。

　　6.體驗(yàn)性。研究性學(xué)習(xí)不僅重視學(xué)習(xí)過程中的理性認(rèn)識，如方法的掌握、能力的提高等，還十分重視感性認(rèn)識，即學(xué)習(xí)的體驗(yàn)。數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的實(shí)施保持和進(jìn)一步提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。

　�。�3）在實(shí)施過程中，要采取有效的手段對學(xué)習(xí)活動進(jìn)行監(jiān)控；指導(dǎo)學(xué)生寫好研究數(shù)學(xué)日記，及時(shí)記載研究情況，真實(shí)記錄個(gè)體體驗(yàn)，為以后進(jìn)行和評價(jià)提供依據(jù)。

　�。�4）要爭取家長和社會有關(guān)方面的關(guān)心、理解和參與，與學(xué)生一起開發(fā)對實(shí)施研究性學(xué)習(xí)有價(jià)值的校內(nèi)外教育資源，為學(xué)生開展研究性學(xué)習(xí)提供良好條件。

　�。�5）能夠根據(jù)學(xué)校與班級實(shí)施研究性學(xué)習(xí)的不同目標(biāo)定位和主客觀條件，在不同時(shí)段選擇不同的切入口，形成不同年級的操作特點(diǎn)。

　　數(shù)學(xué)模型一般是指由數(shù)字、字母或其它數(shù)學(xué)符號組成的，描述現(xiàn)實(shí)對象(原型)數(shù)量規(guī)律和空間特征的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)模型可以敘述為：對于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定對象，為了實(shí)施要求：

　�、偃珕T參與，而非只關(guān)注少數(shù)數(shù)學(xué)尖子學(xué)生競爭，給每個(gè)學(xué)生有鍛煉與參與的機(jī)會；

　　②任務(wù)驅(qū)動。要向?qū)W生提出有明確具體要求的任務(wù)，發(fā)揮它對學(xué)生學(xué)習(xí)過程的引導(dǎo)作用；

　　③重在學(xué)習(xí)過程而非研究的結(jié)果；

　�、苤卦谥�識技能的應(yīng)用而非掌握知識的數(shù)量；

　�、葜卦谟H身參與探索性實(shí)踐活動，獲得感悟和體驗(yàn)，而非一般地接受別人傳授的經(jīng)驗(yàn)；

　�、扌问缴响`活多樣，強(qiáng)調(diào)課內(nèi)外結(jié)合。數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)模式有三種：

　　（1）理論實(shí)踐模式。是指師生在共同學(xué)習(xí)研究性學(xué)習(xí)理論的基礎(chǔ)上，學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)理論來研究、解決數(shù)學(xué)問題，體驗(yàn)研究性學(xué)習(xí)課程理論的價(jià)值，提高綜合能力的一種教學(xué)模式。

　�。�2）數(shù)學(xué)問題探討模式。師生圍繞數(shù)學(xué)問題的分析與探討展開的教學(xué)活動，構(gòu)成了問題探討教學(xué)模式。其基本理念在于：以激勵(lì)、強(qiáng)化學(xué)生在教學(xué)過程中的主體參與意識為著眼點(diǎn)，以幫助學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，學(xué)會發(fā)現(xiàn)和分析問題，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性解決問題的能力為宗旨，創(chuàng)設(shè)一種開放而又活潑的學(xué)習(xí)氛圍。其教學(xué)策略是：將問題或案例呈現(xiàn)給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生共同探討，構(gòu)建師生平等、互動的學(xué)習(xí)環(huán)境。

　　一般來說，教師要選擇典型的數(shù)學(xué)問題或案例，不可平鋪直敘地搬給學(xué)生，而要?jiǎng)?chuàng)造性地加以取舍，主動設(shè)疑，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會思考，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)能力。

　　（3）數(shù)學(xué)課題研究模式。數(shù)學(xué)課題研究模式是指教師提供課題或由學(xué)生根據(jù)興趣設(shè)計(jì)研究課題，并在教師的指導(dǎo)下自主探索、實(shí)施研究計(jì)劃、完成課題目標(biāo)、提高社會實(shí)踐能力的一種教學(xué)模式。

　　組織形式有三種類型：小組合作研究、個(gè)人獨(dú)立研究、全班集體研究。其中一致認(rèn)為小組合作研究是最基本、最有效、經(jīng)常被采用的一種組織形式。數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)實(shí)施的一般程序

　　一般可以分為三個(gè)階段：

　�。�1）進(jìn)入問題情境階段（準(zhǔn)備階段）。主要任務(wù)是背景知識的準(zhǔn)備；指導(dǎo)學(xué)生確定數(shù)學(xué)研究課題；組織課程小組、制定研究方案。

　�。�2）實(shí)踐體驗(yàn)階段（實(shí)施階段）。本階段學(xué)生要進(jìn)入具體的解決問題過程。

　　（3）表達(dá)交流階段（結(jié)題階段）。學(xué)生將自己或小組經(jīng)過實(shí)踐、體驗(yàn)所取得的收獲進(jìn)行歸納整理、總結(jié)提煉，形成書面或口頭報(bào)告材料，得出結(jié)論，并進(jìn)行成果交流和總結(jié)反思。數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)實(shí)施中的教師指導(dǎo)

　�。�1）在初中不同的學(xué)段和年級，教師的指導(dǎo)工作內(nèi)容和方法應(yīng)該有所不同。

　　（2）在數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)實(shí)施過程中，教師要及時(shí)了解學(xué)生開展活動的情況，有針對性地進(jìn)行指導(dǎo)、點(diǎn)撥；要組織靈活多樣的交流、研討活動，促進(jìn)學(xué)生自我教育，幫助他們

　　一個(gè)特定目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡化假設(shè)后，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)建模教學(xué)的目

　　使學(xué)生體會數(shù)學(xué)與自然及人類社會的密切聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，培養(yǎng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識，增進(jìn)對數(shù)學(xué)的理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)的信心；使學(xué)生學(xué)會運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察、分析現(xiàn)實(shí)社會，去解決日常生活中的問題，進(jìn)而形成勇于探索、勇于創(chuàng)新的科學(xué)精神；使學(xué)生學(xué)會以數(shù)學(xué)建模為手段，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，團(tuán)結(jié)合作，建立良好的人際關(guān)系、相互合作的工作能力；以數(shù)學(xué)建模方法為載體，使學(xué)生獲得適應(yīng)未來社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)事實(shí)以及基本的思想方法和必要的應(yīng)用技能。數(shù)學(xué)建模的教學(xué)意義

　　1.培養(yǎng)學(xué)生合作學(xué)習(xí)的能力合作能力是信息社會中每個(gè)人必須具備的基本素質(zhì)。

　　2.培養(yǎng)學(xué)生處理信息的能力數(shù)學(xué)建�；顒觿t為學(xué)生學(xué)習(xí)如何選擇信息、獲取信息和加工信息提供了一個(gè)有效的途徑。

　　3.有利于學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)觀數(shù)學(xué)建�；顒拥拈_展使學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)觀成為可能。

　　4.有利于學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)與生活、數(shù)學(xué)與其它學(xué)科的聯(lián)系

　　5.激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣

　　6.發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識數(shù)學(xué)建模的具體實(shí)施1.選題

　　鼓勵(lì)學(xué)生自主提出問題，可以從以下幾個(gè)方面人手：

　�、僮寣W(xué)生了解選題的重要性和基本要求，

　�、谥笇�(dǎo)學(xué)生結(jié)合自己的生活經(jīng)驗(yàn)尋找課題，也可由教師介紹往屆學(xué)生的選題并加以點(diǎn)評，或者請本班同學(xué)介紹自己的選題計(jì)劃，教師和學(xué)生一起分析其可行性，

　�、劢處焺�(chuàng)設(shè)一個(gè)問題環(huán)境，引導(dǎo)學(xué)生自主提出問題、確定課題。這時(shí)教師的指導(dǎo)應(yīng)該是有啟發(fā)性的，不要代替學(xué)生確定課題，而是啟發(fā)學(xué)生自己去延展、開拓問題鏈，讓學(xué)生自己提出要解決的問題和解決問題的方案。

　　2.實(shí)施

　　在課題學(xué)習(xí)的實(shí)施中，我們強(qiáng)調(diào)開放學(xué)生的思維，強(qiáng)化過程體驗(yàn)，師生和生生的情感交流和成果共享。

　　3.指導(dǎo)

　　在課題學(xué)習(xí)中，教師如何指導(dǎo)學(xué)生，這是一個(gè)令不少教師感到困惑甚至苦惱的問題。課題學(xué)習(xí)過程中，問題形式與內(nèi)容的變化，問題解決方法的多樣性、新奇性，問題解決過程的不確定性，結(jié)果呈現(xiàn)層次的豐富性，無疑是對參與者創(chuàng)造力的一種激發(fā)、挑戰(zhàn)和有效的鍛煉。教師在陌生的問題面前感到困難，失去相對于學(xué)生的優(yōu)勢是自然的、常常出現(xiàn)的。

　　4.評價(jià)

　　評價(jià)過程具體涉及以下幾個(gè)方面：

　�、僬{(diào)查、求解的過程和結(jié)果要合理、清楚、簡捷；

　�、谝�有自己獨(dú)到的思考和發(fā)現(xiàn)；

　�、勰軌蚯‘�(dāng)?shù)厥褂霉ぞ?如網(wǎng)絡(luò)和計(jì)算工具)；

　�、懿捎煤侠怼⒑喗莸乃惴�；

　　⑤提出有價(jià)值的求解設(shè)計(jì)和有見地的新問題；

　�、薨l(fā)揮每個(gè)組員的特長，合作學(xué)習(xí)得有效果。5.建立和擴(kuò)張資源

　　對教育資源的認(rèn)識應(yīng)該走出靜態(tài)的誤區(qū)，要看到身邊許多動態(tài)的教育教學(xué)資源。此外，通過查找相關(guān)的刊物和網(wǎng)站也可以發(fā)現(xiàn)大批的可用資源。我們還應(yīng)有意識地建立自己個(gè)性化的信息資源庫，它包括：前幾屆學(xué)生做的課題成果，如論文、研究報(bào)告、程序、制作的作品，以及活動過程的照片、研究課的錄音或錄像、其它學(xué)校學(xué)生的優(yōu)秀成果等。生和發(fā)展而成。這種抽象可以脫離具體的實(shí)物模型，形成一種具有層次性的體系。形式化使用特定的數(shù)學(xué)符號來表示數(shù)學(xué)概念，使概念形式化。邏輯化在一個(gè)特定的數(shù)學(xué)體系中，孤立的數(shù)學(xué)概念是不存在的，它們之間往往存在著某種關(guān)系；這些關(guān)系稱之為數(shù)學(xué)概念的邏輯關(guān)系。這種邏輯關(guān)系使得數(shù)學(xué)概念系統(tǒng)化、公理化。簡明化數(shù)學(xué)概念具有高度的抽象性，借助數(shù)學(xué)符號語言，使得一定事物的本質(zhì)簡明的形式表現(xiàn)出來，這種簡明化使人們在較短時(shí)間內(nèi)領(lǐng)會。概念的外延與內(nèi)涵

　　概念反映了事物的本質(zhì)屬性，也就反映了具有這種本質(zhì)屬性的事物。

　　一個(gè)概念所反映的對象的總和，稱為這個(gè)概念的外延是指適合這個(gè)概念的一切對象，即符合這一概念所有對象的集合。換言之，是指這個(gè)概念的延用范圍。一個(gè)概念所反映的對象的本質(zhì)屬性的總和稱為這個(gè)概念的內(nèi)涵。概念的內(nèi)涵是說一個(gè)概念所反映的事物培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識、數(shù)學(xué)應(yīng)用能力

　　實(shí)際教學(xué)中要強(qiáng)調(diào)學(xué)生的自主探索、合作交流和操作實(shí)踐等學(xué)習(xí)方式。

　�。�1）充分發(fā)揮學(xué)生的主體性。在學(xué)習(xí)過程中，教師可以向?qū)W生推薦活動，讓學(xué)生在選擇中有較強(qiáng)的自主性；同時(shí)，讓學(xué)生獨(dú)立思考和合作交流，在此基礎(chǔ)上教師進(jìn)行有針對性的指導(dǎo)。

　�。�2）強(qiáng)凋?qū)W生學(xué)習(xí)方法、思維方法、學(xué)習(xí)態(tài)度的養(yǎng)成，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程。課題學(xué)習(xí)活動強(qiáng)調(diào)學(xué)生主動學(xué)習(xí)，不宜強(qiáng)調(diào)對知識的學(xué)習(xí)，而且更重要的是強(qiáng)調(diào)學(xué)生對學(xué)習(xí)方法、思維方法、學(xué)習(xí)態(tài)度的養(yǎng)成。

　　（3）創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)膯栴}情景，鼓勵(lì)學(xué)生思考方法的多樣化。在課題學(xué)習(xí)活動過程中，教師應(yīng)當(dāng)鼓勵(lì)與尊重學(xué)生的獨(dú)立思考，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行討論與交流，培養(yǎng)學(xué)生良好的思考習(xí)慣和合作意識。鼓勵(lì)算法多樣化，對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識與創(chuàng)新思維是十分必要的。

　�。�4）對課題學(xué)習(xí)的評價(jià)應(yīng)該以質(zhì)的評價(jià)為主。一般說來，對學(xué)生實(shí)踐與綜合應(yīng)用活動的評價(jià)要強(qiáng)調(diào)過程性評價(jià)。重點(diǎn)在于促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新精神的培養(yǎng)和實(shí)踐能力的提高，具備與人溝通及有良好的人際交往能力。而不是把學(xué)生貼上優(yōu)秀、良好、不及格的標(biāo)簽。數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的評價(jià)對建立學(xué)生發(fā)展性評價(jià)有哪些有益的啟示

　　（1）研究性學(xué)習(xí)評價(jià)更重視過程。研究性學(xué)習(xí)評價(jià)學(xué)生研究成果的價(jià)值取向重點(diǎn)是學(xué)生的參與研究過程。

　�。�2）研究性學(xué)習(xí)評價(jià)更重視理解中的應(yīng)用。強(qiáng)調(diào)的是學(xué)生把學(xué)到的基礎(chǔ)知識、掌握的基本技能，應(yīng)用到實(shí)際問題的提出和解決中去既促進(jìn)學(xué)生對知識價(jià)值的反思，又加深對知識內(nèi)涵理解和掌握，形成知識的網(wǎng)絡(luò)和結(jié)構(gòu)。3）研究性學(xué)習(xí)評價(jià)強(qiáng)調(diào)學(xué)生在探究過程中的體驗(yàn)。

　�。�4）研究性學(xué)習(xí)評價(jià)更重視全員參與。研究性學(xué)習(xí)的價(jià)值取向強(qiáng)調(diào)每個(gè)學(xué)生都有充分學(xué)習(xí)的潛能，為他們進(jìn)行不同層次的研究性學(xué)習(xí)提供了可能性，也為個(gè)別化的評價(jià)方式創(chuàng)造了條件。第五章初中數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ)

　　客觀事物都有各自的許多性質(zhì)，或者稱為屬性。經(jīng)過比較、分析、綜合、概括，抽象出一種事物所獨(dú)有而其它事物所不具有的屬性，稱為這種事物的本質(zhì)屬性。反映事物本質(zhì)屬性的思維形式叫做概念。數(shù)學(xué)研究的對象是現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系。反映數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性的思維形式叫做數(shù)學(xué)概念。數(shù)學(xué)概念具有抽象化、形式化等鮮明的特點(diǎn)。

　　抽象化數(shù)學(xué)概念反映一類事物在數(shù)量關(guān)系和空間形式方面的本質(zhì)屬性。有些可以直接從客觀事物的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映得來，而大多數(shù)概念排除對象具體的物質(zhì)內(nèi)容，抽象出內(nèi)在的、本質(zhì)的屬性，甚至在已有數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)上，經(jīng)過多級的抽象過程才產(chǎn)的本質(zhì)屬性。

　　概念的內(nèi)涵和外延之間相互依存，二者是一對矛盾，共處于統(tǒng)一體的概念之中。它們之間有著相互依存、相互制約的關(guān)系。概念反映了事物的本質(zhì)屬性，也就反映了具有這種本質(zhì)屬性的事物。一個(gè)概念所反映的對象的總和，稱為這個(gè)概念的外延。一個(gè)概念所反映的對象的本質(zhì)屬性的總和稱為這個(gè)概念的內(nèi)涵。一個(gè)概念的內(nèi)涵和外延分別從質(zhì)和量兩個(gè)方面刻劃了這個(gè)概念，每個(gè)概念都是其內(nèi)涵與外延的統(tǒng)一體．概念的內(nèi)涵嚴(yán)格確定了概念的外延，反之，概念的外延完全確定了概念的內(nèi)涵。概念的外延和內(nèi)涵是主觀對客觀的認(rèn)識，由于人們對客觀事物的認(rèn)識是發(fā)展變化的，概念的外延和內(nèi)涵必然相應(yīng)地發(fā)生變化，但是在發(fā)展變化的過程中有其相對的穩(wěn)定性．在數(shù)學(xué)科學(xué)體系的確定的階段，每一個(gè)數(shù)學(xué)概念的外延和內(nèi)涵都是確定的，二者是相互確定的。初中數(shù)學(xué)概念的特點(diǎn)

　　1、初中數(shù)學(xué)概念并非都是通過定義給出的

　　2.初中數(shù)學(xué)概念的層次性數(shù)學(xué)概念本身具有層次性。

　　3.數(shù)學(xué)概念是理想概念

　　4.數(shù)學(xué)概念是“過程”與“對象”的統(tǒng)一體數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系

　　1.同一關(guān)系兩個(gè)外延完全相同的概念之間的關(guān)系，叫做同一關(guān)系。同一關(guān)系，敘述上常用連接詞“即”、“就是”等表示。在一個(gè)判斷過程中，具有同一關(guān)系的兩個(gè)概念可以互相代替。

　　2.交叉關(guān)系兩個(gè)外延部分相同的概念之間的關(guān)系，叫做交叉關(guān)系.敘述上常用“有的”、“有些”等表示。

　　3.從屬關(guān)系兩個(gè)外延具有包含關(guān)系的概念之間的關(guān)系，叫做從屬關(guān)系。其中外延范圍大的概念A(yù)叫做上位概念或種概念，外延范圍小的概念B叫做下位概念或類概念。4.矛盾關(guān)系兩個(gè)概念的外延互相排斥，但外延之和等于它們最鄰近的種概念的外延，這樣兩個(gè)概念之間的關(guān)系，叫做矛盾關(guān)系。

　　5.對立關(guān)系兩個(gè)概念的外延互相排斥，但外延之和小于它們最鄰近的種概念的外延，這樣兩個(gè)概念之間的關(guān)系，叫做對立關(guān)系。

　　把一個(gè)屬概念分成若干個(gè)種概念，揭示概念外延的邏輯方法叫做概念的劃分。在數(shù)學(xué)中常用劃分把概念系統(tǒng)化。正確的劃分應(yīng)符合下列條件：

　　第一，所分成的種概念之間應(yīng)是全異關(guān)系，即任兩個(gè)種概念的外延的交集應(yīng)是空集；第二，劃分應(yīng)是相稱的，即是說所分成的全異種概念的外延的并集等于屬概念的外延；第三，每次劃分都應(yīng)按照同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行。在一次劃分中用不同的根據(jù)就造成了混亂；第四，劃分不應(yīng)越級。應(yīng)把屬概念分為最鄰近的種概念

　　數(shù)學(xué)概念的定義與要求

　　定義是建立概念的邏輯方法人們在認(rèn)識事物的過程中，經(jīng)過抽象，形成概念，就要借助語言或符號，加以明確、固定和傳遞，這就要給概念下定義。定義的功能是為了明確討論問題的對象。常常是在抽象出事物的本質(zhì)屬性之后，運(yùn)用邏輯的方法和精練的語言或符號揭示出對象的本質(zhì)屬性。常用的定義方法:

　　1.“種+類差”定義法屬概念加種差定義法就是，用被定義概念最鄰近的屬概念，連同被定義的概念與同一屬概念下其它種概念之間的差別（即種差），來進(jìn)行定義的方法。2.發(fā)生式定義法不直接揭示概念的基本內(nèi)涵或外延，而是通過指出概念所反映的對象產(chǎn)生的過程，由此來定義概念的方法，叫做發(fā)生式定義法。

　　3.外延定義法這是一種給出概念外延的定義法，又叫歸納定義法。真時(shí)，P假；當(dāng)P假時(shí)，P真。

　　2.選言判斷。選言判斷是由兩個(gè)或兩個(gè)以上判斷用連接詞“或者”構(gòu)成的判斷，一般記成AVB，讀作“A或B”。

　　3.聯(lián)言判斷。聯(lián)言判斷是用連接詞“且”構(gòu)成的判斷，表明幾個(gè)事物情況都存在，一般記成A∧B，讀作“A且B”。4假言判斷。假言判斷又叫蘊(yùn)含判斷，它是判斷P為另一判斷Q存在條件的判斷，P、Q分別叫做該假言判斷的前件和后件(或題設(shè)和題斷，條件和結(jié)論)，一般用“若……，則……”，或“如果……，那么……”的形式表示，記成P→Q。解命題的涵義

　　關(guān)于數(shù)學(xué)對象及其屬性的判斷叫做數(shù)學(xué)判斷。判斷要借助于語句，表示判斷的語句叫命題。

　　4.約定式定義法由于某種特殊的需要，通過約定的方法來定義的。

　　5．關(guān)系定義法這是以事物間的關(guān)系作為種差的定義，它指出這種關(guān)系是被定義事物所具有而任何其他事物所不具有的特有屬性。

　　此外，中學(xué)數(shù)學(xué)中還有描述性定義法(如現(xiàn)行中學(xué)數(shù)學(xué)中關(guān)于等式、極限的定義)、遞推式定義法(如n階行列式、n階導(dǎo)數(shù)、n重積分的定義)，借助另一對象來進(jìn)行定義(如借助指數(shù)概念定義對數(shù)概念)等等。定義數(shù)學(xué)概念的基本要求

　　1.定義應(yīng)當(dāng)相稱。即定義概念的外延與被定義概念的外延必須是相同的，既不能擴(kuò)大也不能縮小2.定義不能循環(huán)。即在同一個(gè)科學(xué)系統(tǒng)中，不能以A概念來定義B概念，而同時(shí)又以B概念來定義A概念。

　　3.定義應(yīng)清楚、簡明。定義中列舉的屬性對于揭示概念反映的對象的本質(zhì)屬性來說應(yīng)是必不可少的。所謂必不可少是指每一個(gè)屬性都是獨(dú)立的，不能由列舉出的其它屬性推出。

　　定義要揭示概念所反映對象的本質(zhì)屬性，而否定形式一般不能做到這一點(diǎn)。數(shù)學(xué)概念的形成

　　數(shù)學(xué)概念形成是從大量的實(shí)際例子出發(fā)，經(jīng)過比較、分類，從中找出一類事物的本質(zhì)屬性，然后通過具體的例子對所發(fā)現(xiàn)的屬性進(jìn)行檢驗(yàn)與修正，最后通過概括得到定義并用符號表達(dá)出來。

　　數(shù)學(xué)概念形成的過程有以下幾個(gè)階段：

　　1.觀察實(shí)例。

　　2.分析共同屬性。分析所觀察實(shí)例的屬性，通過比較得出各實(shí)例的共同屬性。

　　3.抽象本質(zhì)屬性。從上面得出的共同屬性中提出本質(zhì)屬性的假設(shè)。

　　4.確認(rèn)本質(zhì)屬性。通過比較正例和反例檢驗(yàn)假設(shè)。確認(rèn)本質(zhì)屬性。

　　5.概括定義。在驗(yàn)證假設(shè)的基礎(chǔ)上，從具體實(shí)例中抽象出本質(zhì)屬性推廣到一切同類事物，概括出概念的定義。

　　6.符號表示。

　　7.具體運(yùn)用。使新概念與已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)概念建立起牢固的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系。把所學(xué)的概念納入到相應(yīng)的概念體系中。

　　判斷是人們對事物情況有所肯定或否定的比概念高一級的思維形式。判斷是屬于主觀對客觀的認(rèn)識，因此，判斷有真有假，其真假要由實(shí)踐來檢驗(yàn)，在數(shù)學(xué)中要進(jìn)行證明。如實(shí)反映事物情況的判斷，叫真判斷；不符合事物情況的判斷，叫假判斷。在一個(gè)判斷中，如果不包含其他的判斷，叫做簡單判斷。簡單判斷又分為性質(zhì)判斷和關(guān)系判斷。復(fù)合判斷是由兩個(gè)或兩個(gè)以上的簡單判斷用連接詞構(gòu)成的判斷。

　　1.負(fù)判斷。負(fù)判斷是用連接詞“非”構(gòu)成的判斷，一般記為┑P，讀作“非P”，當(dāng)P如何理解命題的分類

　　所謂性質(zhì)命題，是指斷定某事物具有（或不具有）某種性質(zhì)的命題。性質(zhì)命題由主項(xiàng)、謂項(xiàng)、量項(xiàng)和聯(lián)項(xiàng)四部分組成。關(guān)系命題關(guān)系命題是斷定事物與事物之間關(guān)系的命題，關(guān)系命題由主項(xiàng)、謂項(xiàng)和量項(xiàng)三部分組成.復(fù)合命題命題真值的概念。

　　對于命題A、B，如果A是一個(gè)真命題，我們就說A的真值等于1，記成A=1；如果B是一個(gè)假命題，我們就說B的真值等于0，記成B=0。一個(gè)命題或真或假，而不能既真又假。因此，一個(gè)命題的真值只能是1或0，不能既為1，又為0，或非l又非0。

　　復(fù)合命題的分類

　　復(fù)合命題由于所采用的連接詞不同，可分為下列五種形式。

　　否定式。給定一個(gè)命題A，用連接詞“非”組成一個(gè)復(fù)合命題“非A”，

　　析取式。給定兩個(gè)命題A與B，用連接詞“或”組成一個(gè)復(fù)合命題“A或B”，合取式。給定兩個(gè)命題A與B，用連接詞“且”組成一個(gè)復(fù)合命題“A且B”蘊(yùn)含式。給定兩個(gè)命題A與B，用連接詞“若……，則……”組成一個(gè)復(fù)合命題“若A則B”，記作AB

　　等值式。給定兩個(gè)命題A與B，用連接詞“等值”組成一個(gè)復(fù)合命題“A等值B”，記作“AB”公理與定理

　　不加證明而被承認(rèn)其真實(shí)性的命題叫做“公理”。原始概念和公理是組成數(shù)學(xué)理論的主要基礎(chǔ)。公理雖然不能加以證明，但有其合理性，它是從大量客觀事物與現(xiàn)象中抽象出來的，符合客觀規(guī)律。

　　任何公理體系都必須滿足相容性、完備性和獨(dú)立性。相容性是指該體系的各公理之間沒有矛盾。完備性是指該分支的形成除了相應(yīng)的公理體系外，不依賴于任何別的東西。獨(dú)立性是指該體系中各公理是相互獨(dú)立的，沒有一個(gè)可以由其他公理推出。獨(dú)立性對整個(gè)公理體系而言，具有錦上添花的作用。

　　經(jīng)過證明為真實(shí)的命題叫做定理，可由定理直接得出的真命題叫做推論。推論和定理的含義沒有什么本質(zhì)的區(qū)別。一個(gè)定理的逆命題、偏逆命題都未必為真，如果證明了是真實(shí)的，則分別稱為原定理的“逆定理”、“偏逆定理”。形式邏輯的基本規(guī)律

　　1.同一律：在同一時(shí)間、同一地點(diǎn)、同一思維的過程中，所使用的概念和判斷必須確

　　定，且前后保持一致。公式是：A→A，即A是A。它有兩點(diǎn)具體要求：一是思維的對象應(yīng)保持同一。二是表示同一事物的概念應(yīng)保持同一。

　　2.矛盾律：在同一時(shí)間，同一地點(diǎn)，同一思維的過程中，不能既肯定它是什么，又否定它是什么，即在同一思維過程中的兩個(gè)互相矛盾的判斷，不能同真，必有一假。公式是：A∧A，即A不是A。

　　3.排中律：在同一時(shí)間、同一地點(diǎn)、同一思維的過程中，對同一對象，必須作出明確的肯定或否定的判斷。即在同一思維過程中，兩個(gè)互相矛盾的概念或判斷不能同假，必有一真，而排除第三種可能。公式是：A∨，即A或。

　　排中律和矛盾律既有聯(lián)系，又有區(qū)別。其聯(lián)系在于：它們都是關(guān)于兩個(gè)互相矛盾的判斷，都指出兩個(gè)矛盾判斷不能同時(shí)并存，其中必有一個(gè)是假。但如何進(jìn)一步確定誰真誰假，它們本身都無能為力，只有借助其他知識，進(jìn)行具體分析，才能正確地予以回答。3．演繹推理是一種由

小學(xué)數(shù)學(xué)培訓(xùn)總結(jié)2

　　xx年8月，我有幸參加了河北省小學(xué)數(shù)學(xué)骨干教師集中培訓(xùn)班的學(xué)習(xí)。學(xué)習(xí)期間，我按時(shí)參加了短期集中培訓(xùn)，完成了公共課、通用技術(shù)課、專業(yè)技術(shù)課、觀摩考察課和活動課等五大模塊的學(xué)習(xí)；并積極完成遠(yuǎn)程培訓(xùn)，認(rèn)真收看規(guī)定的課程視頻，緊密結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，按時(shí)完成了學(xué)習(xí)日志，積極參加網(wǎng)上討論，在論壇上發(fā)表觀點(diǎn)，按時(shí)撰寫作業(yè)，完成各項(xiàng)學(xué)習(xí)任務(wù)，此次培訓(xùn)自己感覺收獲比很大�，F(xiàn)總結(jié)如下：

　　一、集中培訓(xùn)學(xué)習(xí)情況

　　xx年8月5日至8月15日，我有幸參加了省級小學(xué)數(shù)學(xué)骨干教師培訓(xùn)班的集中學(xué)習(xí)。這次集中培訓(xùn)的內(nèi)容豐富，形式多樣，有“小學(xué)數(shù)學(xué)有效教學(xué)方法”、“師德與和諧教育”、“小學(xué)生邏輯思維能力的培養(yǎng)”、“生命教育理念下的有效教學(xué)研究”“小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)實(shí)例”、“小學(xué)數(shù)學(xué)常見的問題分析”、“小學(xué)生心理健康指導(dǎo)”、“數(shù)學(xué)課件制作”、“教師行為禮儀”、“小學(xué)教育科研方法”、“優(yōu)秀教師示范”等專家講座引領(lǐng)，有學(xué)員間的互動交流等。

　　通過聆聽專家學(xué)者們的講解我充分享受到了自身充電帶給我的精神上的富足和愉悅，親身體驗(yàn)了在專家引領(lǐng)和伙伴互助下的學(xué)習(xí)過程，進(jìn)一步掌握了新課程改革的理念和要求。同時(shí)，我眼界也開闊了很多，思考問題能站在更高的境界，許多疑問得以解決。不僅提高了業(yè)務(wù)素質(zhì)，同時(shí)也深刻感到學(xué)習(xí)理論知識的重要性。通過理論學(xué)習(xí)與實(shí)踐，我從思想上又有了更深一層次的認(rèn)識：作為一位數(shù)學(xué)教師，必須具有淵博的學(xué)科知識，熟練的操作技能，良好的思想品質(zhì)，更應(yīng)當(dāng)掌握現(xiàn)代教育教學(xué)理論、掌握現(xiàn)代教育教學(xué)技術(shù)。既不能脫離教學(xué)實(shí)際，又要為解決教學(xué)中的問題而進(jìn)行研究。

　　二、遠(yuǎn)程培訓(xùn)情況

　　從xx年8月參加了河北省小學(xué)數(shù)學(xué)骨干教師短期集中培訓(xùn)后，直至今天，我先后收看了范存麗、孫佳威教授的《小學(xué)數(shù)與形結(jié)合及符號化思想的教學(xué)策略》；孫家芳、曹艷教授的'《小學(xué)函數(shù)思想和模型思想的教學(xué)策略》；范存麗、周衛(wèi)紅教授的《激發(fā)小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的教學(xué)策略》等專家的課程視頻。同時(shí)學(xué)習(xí)拓展資料及各類簡報(bào)，網(wǎng)上在線學(xué)習(xí)時(shí)間長達(dá)20多小時(shí)，在學(xué)習(xí)的同時(shí)緊密結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，按時(shí)完成了“如何有效激發(fā)小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣”的網(wǎng)上作業(yè)，并取得了優(yōu)秀的好成績。在學(xué)習(xí)與研修的過程中發(fā)表了“小學(xué)數(shù)與形結(jié)合及符號化思想的教學(xué)策略學(xué)習(xí)體會”、“小學(xué)函數(shù)思想和模型思想的教學(xué)策略學(xué)習(xí)有感“。

　　這次遠(yuǎn)程培訓(xùn)，為我們營造了一個(gè)很好學(xué)習(xí)的環(huán)境，各位專家學(xué)者給我們帶來了新的學(xué)習(xí)觀念、學(xué)習(xí)方式和教學(xué)理念，為我們今后的人生開辟了新天地。我要把汲取到的先進(jìn)理念、思想運(yùn)用到工作中去，讓此次培訓(xùn)的價(jià)值在工作中得到最大的體現(xiàn)。經(jīng)過這段時(shí)間的努力，我終于完成了這次骨干培訓(xùn)學(xué)習(xí)的任務(wù)。這次培訓(xùn)學(xué)習(xí)雖然結(jié)束了，但學(xué)無止境，教育教學(xué)無止境，我將帶著更新的教學(xué)理念，投入到今后的教育教學(xué)工作中去，去實(shí)現(xiàn)一個(gè)個(gè)美好的教育理想！

小學(xué)數(shù)學(xué)培訓(xùn)總結(jié)3

　　有幸參加了“自貢市小學(xué)數(shù)學(xué)骨干教師培訓(xùn)班”3年的學(xué)習(xí)，在這里我感受了名師的風(fēng)采，聆聽了精彩的講座，也更新了教學(xué)觀念。這次教師培訓(xùn)已經(jīng)接近尾聲，回顧這次培訓(xùn)，感受頗深：教師的專業(yè)成長離不開專家的引領(lǐng)，他們給我們從很多方面進(jìn)行了指導(dǎo)，使我們接觸到了專家學(xué)者們的教育新理念，學(xué)習(xí)了不少教育、教學(xué)方面的知識，也觀摩了許多一線教師的精彩課堂，認(rèn)識到了自己教學(xué)中的不足。這次培訓(xùn)內(nèi)容很深刻，培訓(xùn)的效果將影響深遠(yuǎn)。

　　我始終牢記開學(xué)典禮上市教育局高教司科長對我們講了三點(diǎn)希望：端正態(tài)度，重視學(xué)習(xí)；尊師守紀(jì)，謙虛學(xué)習(xí)；學(xué)用結(jié)合，創(chuàng)新結(jié)合。每一次的聆聽講座和課后交流，我們都能踴躍發(fā)言，大膽地陳述自己的觀點(diǎn)想法，提出自己感到疑惑的難以解決的問題。我堅(jiān)持和骨干班的其他學(xué)員保持密切聯(lián)系，使自己能博采眾長、開闊視野。下面是我通過培訓(xùn)學(xué)習(xí)以及自己在工作中獲得的點(diǎn)滴體會：

　　一、要做一名優(yōu)秀的人民教師。

　　還清晰的記得富順縣城西小學(xué)的王軍老師對優(yōu)秀教師角色的形象分析，培訓(xùn)教材《教師的詩意生活與專業(yè)成長》、《骨干教師成長的秘訣》《點(diǎn)擊蘇霍姆林斯基》和《師德修養(yǎng)與教師專業(yè)成長》這幾本書的內(nèi)容至今印象深刻。優(yōu)秀教師的成長應(yīng)該需要教師有對教育的崇高理想，還要有先進(jìn)的教育思想，對工作的激情、態(tài)度，良好的悟性，深刻的反思能力、讀書的能力，學(xué)習(xí)生活中的韌勁。一名優(yōu)秀的人民教師應(yīng)該是思想好、專業(yè)強(qiáng)，懂生活。煉就優(yōu)秀教師有三個(gè)境界：第一個(gè)境界是艱苦的準(zhǔn)備期，第二個(gè)境界是堅(jiān)韌的探索期，第三個(gè)境界是輝煌的成功期。教師需要從雜家到行家再到專家。我從教已近12年，我想自己已經(jīng)進(jìn)入了堅(jiān)韌的探索期。這需要我耐得住寂寞，潛心教書，認(rèn)真育人。

　　二、要加強(qiáng)數(shù)學(xué)專業(yè)知識的學(xué)習(xí)。

　　想給學(xué)生一滴水，教師就必須具備一桶水。教科所的唐玉霞老師對《小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的分析，自流井區(qū)基教中心的甘奎老師對小學(xué)數(shù)學(xué)教材編排體系的分析，成都金牛區(qū)教育研究培訓(xùn)中心的蘇晗老師對新課標(biāo)背景下的數(shù)學(xué)教育、學(xué)生學(xué)習(xí)、教師教學(xué)的分析，對我都很受用，在此基礎(chǔ)上我認(rèn)真學(xué)習(xí)了培訓(xùn)教材《實(shí)施新課程精要讀本小學(xué)數(shù)學(xué)》。如何把握新的課程標(biāo)準(zhǔn)，真正的對學(xué)生實(shí)行素質(zhì)教育是我們必須要把握好的。

　　三、抓好課堂教學(xué)，提高教學(xué)效率。

　　省教科所的尤一老師叫我們《于紛亂中靜下心來》，我們不由的開始重新審視學(xué)校里轟轟烈烈的`新課程背景下的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，反思竭力追求的形式新穎，開始思考我們到底教什么？到底考什么？數(shù)學(xué)課堂教學(xué)可以千變?nèi)f化，但也有恒定不變的東西，那就是知識嚴(yán)格發(fā)生發(fā)展延伸的規(guī)律。市教科所的王堅(jiān)老師主講的《有效課堂教學(xué)》，成都市青羊區(qū)教師學(xué)習(xí)與資源中心的劉慶華老師《課堂觀察》，成都川師附小的黃老師與我們交流了《關(guān)注課堂理答，追尋課堂精彩》，，都從不同的視角對課堂教學(xué)進(jìn)行思考。培訓(xùn)課本《教師課堂教學(xué)技能指導(dǎo)》更是對教師課堂教學(xué)提出了全面的要求。

　　成華區(qū)的教師肖凱老師主講了《我們應(yīng)該怎樣讀數(shù)學(xué)教材》，成都金牛區(qū)教研培訓(xùn)中心蘇晗老師《模塊教學(xué)法》特別是以學(xué)生學(xué)習(xí)成長值外顯方式進(jìn)行評價(jià)學(xué)生，化學(xué)生被動評價(jià)為主動學(xué)習(xí)，對我觸動很大。成都錦江區(qū)教師進(jìn)修校的銳老師主講的《運(yùn)算教學(xué)的核心價(jià)值及其策略》正解決了我多年數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)的困惑。

　　四、加強(qiáng)教育科研能力。

　　大安數(shù)學(xué)教研員徐朝全以“問題解決”為中心的團(tuán)隊(duì)主題研討例談，從認(rèn)識周長的教學(xué)→教學(xué)分析→設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)和解決→教學(xué)反思。這是一種非常好的教研方法，培訓(xùn)教材《教師怎樣進(jìn)行反思與寫案例和論文》、《有效的觀課議課》、《教師如何設(shè)計(jì)作業(yè)與命題》對我們一線教師是非常實(shí)用的。

　　五、加強(qiáng)對其他知識的學(xué)習(xí)。

　　四川理工學(xué)院的石軍老師給我們講解了《校園禮儀》。自貢陽光心理咨詢室的歐大可老師主講的《小學(xué)生心理問題的疏導(dǎo)策略》中，我進(jìn)一步知道了態(tài)度教育的重要性，要尊重學(xué)生的個(gè)性，挖掘?qū)W生潛力，關(guān)注學(xué)生的心靈，在身后為學(xué)生加油。圖畫中的心理學(xué)也是我比較感興趣的知識：房樹人、自畫像、家庭結(jié)構(gòu)圖，自貢陽光心理咨詢室的歐大可老師以《疏導(dǎo)教師的心理壓力，構(gòu)建和諧育人環(huán)境》為題，關(guān)注教師工作的心理狀態(tài)，告訴我們要悅納職業(yè)；悅納學(xué)生，我們的教鞭下有瓦特，冷眼中有牛頓，譏笑中有愛迪生；悅納自己，自己要有良好的個(gè)性、處事行為和人際關(guān)系；悅納同事，與領(lǐng)導(dǎo)是樂隊(duì)與指揮的關(guān)系，與同事是樹木與森林的關(guān)系。培訓(xùn)教材《教師心理健康讀本》也成了我比對自己的標(biāo)準(zhǔn)。這次培訓(xùn)，給我留下印象最深，至今回憶起來仍歷歷在目，深感自身的責(zé)任重大，自身壓力也變大了，要想不被淘汰出局，要想最終成為一名合格的骨干教師，就要更努力地提高自身的業(yè)務(wù)素質(zhì)、理論水平、教育科研能力、課堂教學(xué)能力等。而這就需要我付出更多的時(shí)間和精力，努力學(xué)習(xí)各種教育理論，并勇于到課堂上去實(shí)踐，及時(shí)對自己的教育教學(xué)進(jìn)行反思、調(diào)控，我相信通過自己的不斷努力會有所收獲，有所感悟的。最后再次感謝領(lǐng)導(dǎo)和班主任老師們給我提供了這么好的學(xué)習(xí)環(huán)境！

小學(xué)數(shù)學(xué)培訓(xùn)總結(jié)4

　　8月18日至19日在新碶小學(xué)舉行了三年級、四年級數(shù)學(xué)新課程培訓(xùn)，兩個(gè)年級近一百三十位教師參加了培訓(xùn)。本次培訓(xùn)分三年級和四年級，時(shí)間各為一天，培訓(xùn)內(nèi)容注重教材分析，并結(jié)合課例突出重點(diǎn)，讓參加培訓(xùn)的教師在熟悉和了解教材的同時(shí)，明確教學(xué)方向，通過專題討論探索解決疑難問題的途徑和方法。本次培訓(xùn)有以下兩個(gè)特點(diǎn)：

　　一、注重突出教材內(nèi)容重點(diǎn)，提出教學(xué)建議。

　　在分析教材的具體內(nèi)容過程中，講課老師非常注重對教材特點(diǎn)的講解，結(jié)合其特點(diǎn)分析教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)和難點(diǎn)，從全冊到單元，從單元到課時(shí)，逐一提出教學(xué)建議。同時(shí)還結(jié)合學(xué)生的年齡特征、學(xué)習(xí)規(guī)律，提出如何開發(fā)、利用好教學(xué)資源，如何組織有效的教學(xué)活動，并通過具體的`教學(xué)案例加以分析，時(shí)而提出一些思考問題讓教師討論，做到了聽講與領(lǐng)會同步。

　　二、組織專題討論，探索解決疑難問題的方法

　　本次培訓(xùn)不但在教材分析上作了一些改進(jìn)，而且在通過分析教材的同時(shí)，根據(jù)教材本身的一些問題及在教學(xué)過程中可能會出現(xiàn)的問題，提出研討的內(nèi)容，組織教師進(jìn)行討論、交流，盡量讓教師把一些疑難問題在實(shí)施課堂教學(xué)之前解決好。這樣，在培訓(xùn)期間教師對所教年級的教材既可以做到較全面的了解，也能較好地把握課堂教學(xué)的目標(biāo)。

　　通過本次培訓(xùn)，我們體會到培訓(xùn)內(nèi)容、培訓(xùn)方法必須切合教學(xué)實(shí)際，圍繞教師需要什么，急需什么開展有針對性的培訓(xùn)，使參加培訓(xùn)的教師能做到學(xué)有所得，學(xué)以致用，真正體現(xiàn)培訓(xùn)的效率。

小學(xué)數(shù)學(xué)培訓(xùn)總結(jié)5

　　8月25日、26日，我們數(shù)學(xué)組參加了寶安區(qū)教科培組織的暑期培訓(xùn)。本次培訓(xùn)請來的有編寫教材、解讀教本的專家，有寶安區(qū)賽課一等獎(jiǎng)的青年教師，有進(jìn)行精彩講座的深圳市數(shù)學(xué)教研員。從這些名家名師身上，我看到了很多閃光的，需要我學(xué)習(xí)的地方。希望可以和更多這樣的教師零距離接觸，為我們答疑解惑，引領(lǐng)成長。下面就以下2節(jié)課談?wù)勎掖舜温犝n的感想。

　　第一天上午聽的是曾東槐老師的一節(jié)《圖形的旋轉(zhuǎn)》。這節(jié)課曾老師很好的將書本上的知識與時(shí)事，生活情境結(jié)合起來。一開始，曾老師帶學(xué)生又回到了剛剛結(jié)束的奧運(yùn)會賽場，充分調(diào)動了學(xué)生的積極性和愛國熱情。其次曾老師課件制作之精良給我留下深刻印象。他制作了平衡木比賽時(shí)的片斷，呈現(xiàn)了小猴子蕩秋千的可愛畫面，既符合了小孩子的認(rèn)知心里，激發(fā)了學(xué)習(xí)興趣，又達(dá)到了預(yù)期的教學(xué)目的。唯一美中不足的是，經(jīng)歷了一個(gè)漫長的暑假，學(xué)生的狀態(tài)似乎還沒有投入到學(xué)習(xí)中來。課堂氣氛不夠活躍。

　　石巖公學(xué)的張永華老師上的《認(rèn)識角》這一課可謂是將此次培訓(xùn)推向了高潮。他平易樸實(shí)的'風(fēng)格，精彩的語言，彰顯了他不俗的教師基本功和個(gè)人魅力。這節(jié)課不少老師都上過，但張老師給我們帶來的是令人耳目一新的感覺。第一次和一群即將升上二年級的小朋友見面，張老師以一個(gè)識別字體顏色的游戲一下子就調(diào)動了在場學(xué)生的積極性。引入新課方面，張老師拍攝了他學(xué)校的一些建筑圖片，通過從生活中的圖片入手與新課銜接。讓學(xué)生感受到了學(xué)習(xí)新知的真實(shí)性，必要性。張老師十分注重語言的錘煉，比如在這節(jié)課上，在畫角時(shí)，他說把數(shù)學(xué)書上的角“請”到黑板上。一個(gè)請字，比畫字效果就好得多。再比如他說到角“躲”在圖形里，多可愛得字眼哪！這節(jié)課同樣是一節(jié)實(shí)實(shí)在在的課。張老師十分注重角的概念的內(nèi)化，角的概念全都是學(xué)生自己總結(jié)，并不斷鞏固，動手操作加深認(rèn)識的。這一節(jié)課容量頗大，然而設(shè)計(jì)環(huán)環(huán)緊扣，由淺入深，知識點(diǎn)摳的特別細(xì)，比如他設(shè)計(jì)了角的符號與小于號的區(qū)別。設(shè)計(jì)了通過變換角的張口方向讓學(xué)生辨別是不是角。我感覺正是我上這節(jié)課沒有講到，學(xué)生出現(xiàn)了一些錯(cuò)誤的地方。

　　希望以后能聽到更多更好的示范課，對我們一線老師是大有裨益的。也希望通過自身的努力，教學(xué)水平不斷提高。

小學(xué)數(shù)學(xué)培訓(xùn)總結(jié)6

　　在此期間我充分利用培訓(xùn)時(shí)間學(xué)習(xí)，感到既有辛苦，又有收獲。既有付出，又有新所得。這次培訓(xùn)讓我有幸與專家和各地的數(shù)學(xué)精英們交流，面對每次探討的主題，大家暢所欲言，各抒已見，濃濃的學(xué)習(xí)氛圍不言而喻，盡管不曾謀面，但培訓(xùn)拉近了我們的距離。全面提升了自己的基本素質(zhì)和業(yè)務(wù)綜合能力，對于今后的發(fā)展起到了積極的促進(jìn)作用�，F(xiàn)在就把我個(gè)人培訓(xùn)學(xué)習(xí)活動主要收獲總結(jié)如下：

　　一、轉(zhuǎn)變思想，更新觀念

　　我積極投身網(wǎng)絡(luò)培訓(xùn)的學(xué)習(xí)當(dāng)中，切實(shí)做到了三個(gè)“自覺”：自覺參加上級組織的網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)培訓(xùn)，自覺參加討論，自覺上交作業(yè)。通過培訓(xùn)，使我明確了現(xiàn)代教育的本質(zhì)，明確課改對于教師提出了什么樣的素質(zhì)要求。我通過深入學(xué)習(xí)，從而明確了作為一名教師必須不斷的提高自己，充實(shí)自己，具有豐富的知識內(nèi)涵，扎實(shí)的教學(xué)基本功，否則就要被時(shí)代所淘汰，增強(qiáng)了自身學(xué)習(xí)的緊迫性，危機(jī)感和責(zé)任感，樹立了“以學(xué)生發(fā)展為本”的教育思想，不斷進(jìn)行教學(xué)觀念的更新，教學(xué)行為和學(xué)生的學(xué)習(xí)方式也有了根本性的改變。

　　二、積極培訓(xùn)，深刻感悟

　　在培訓(xùn)期間，我堅(jiān)持在百忙中抽出時(shí)間在網(wǎng)上學(xué)習(xí)，通過這次培訓(xùn)學(xué)習(xí)，學(xué)了不少知識，為我營造了一個(gè)廣闊的學(xué)習(xí)天地，使我掌握了先進(jìn)的教育理念和方法。我覺得在理論的形成方面有大幅度的提高。在培訓(xùn)中有大量的案例，深入淺出的闡明了理論，通過與專家，學(xué)員的在線互動交流，專家的真知灼見與精辟見解，以及同行的精彩點(diǎn)評，交流與感悟也讓得到我意想不到的收獲，專家的講座，每一專題的各個(gè)觀點(diǎn)及案例，很好地解決了我們在教學(xué)過程中一些感到束手無策的問題，也對自己以前的教學(xué)有了一次徹底的反思。培訓(xùn)中，我還閱讀了大量的先進(jìn)材料和記錄了一些先進(jìn)的理論與方法，并把這些科學(xué)的理論與方法應(yīng)用于教學(xué)實(shí)踐中，取得較好的教學(xué)效果。培訓(xùn)學(xué)習(xí)不但學(xué)有所獲，更重要的是一定要做到有所用。

　　三、反思教學(xué)工作，不斷進(jìn)取

　　在教學(xué)中，我不斷思量自己在工作中的不足努力提高自己的業(yè)務(wù)水平，繼續(xù)向優(yōu)秀骨干教師學(xué)習(xí)，向有經(jīng)驗(yàn)的教師請教。對于一個(gè)教師，通過這次網(wǎng)上培訓(xùn)，讓我懂得了網(wǎng)絡(luò)的重要性；讓我懂得了如何運(yùn)用網(wǎng)絡(luò)資源。在教學(xué)設(shè)計(jì)過程中，我依據(jù)教育教學(xué)原理、應(yīng)用系統(tǒng)、科學(xué)的方法，研究、探索教和學(xué)系統(tǒng)中各要素之間及要素與整體之間的本質(zhì)聯(lián)系，然后對教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)媒體、教學(xué)策略和教學(xué)評價(jià)等要素進(jìn)行具體計(jì)劃。我在教學(xué)中，鼓勵(lì)學(xué)生收集身邊有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，在課堂上開辟一片互相交流、互相討論關(guān)注問題的天地。通過這樣的資料互動形式把課堂教學(xué)與社會生活聯(lián)系起來，體現(xiàn)數(shù)學(xué)來源于社會又應(yīng)用于社會的一面。讓學(xué)生學(xué)得更輕松也讓學(xué)生能夠更多的參與到課堂之中得到更多的操作技巧。通過努力，我根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，迎合學(xué)生好奇心強(qiáng)的特性，大膽地進(jìn)行課堂改革。把課堂與生活拉近，以形式多樣的探究活動為主，讓數(shù)學(xué)課的范圍擴(kuò)大到生活的.方方面面。

　　四、立足課堂在實(shí)踐中提升自身價(jià)值

　　課堂是教師體現(xiàn)自身價(jià)值的主陣地，我本著“一切為了學(xué)生，為了學(xué)生的一切”的理念，我將自己的愛全身心地融入到學(xué)生中。今后的教學(xué)中，我將努力將所學(xué)的新課程理念應(yīng)用到課堂教學(xué)實(shí)踐中，立足“用活新教材，實(shí)踐新理念�！绷η笞屛业臄�(shù)學(xué)教學(xué)更具特色，形成獨(dú)具風(fēng)格的教學(xué)模式，更好地體現(xiàn)素質(zhì)教育的要求，提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量。同時(shí)作為班主任的我深深懂得，教師的一言一行都影響著學(xué)生，都會對學(xué)生起著言傳身教的作用。思想教育要常抓不懈，著重培養(yǎng)學(xué)生良好的道德品質(zhì)、學(xué)習(xí)習(xí)慣、勞動習(xí)慣和文明行為習(xí)慣等。

　　五、培訓(xùn)提高，優(yōu)化課堂

　　作為傳道授業(yè)的老師，只有不斷的更新自己的知識，不斷提高自身素質(zhì)，不斷的完善自己，才能教好學(xué)生。如果自身散漫，怎能要求學(xué)生認(rèn)真。要提高我們的自身素質(zhì)，這要求我們年輕教師多聽取學(xué)生和老教師的各種意見。并且自身不斷的學(xué)習(xí)，積極學(xué)習(xí)，不斷開辟新教法。摒棄舊的教學(xué)方法，把先進(jìn)的教學(xué)模式引入課堂。

　　六、遠(yuǎn)程培訓(xùn)是引領(lǐng)著我前進(jìn)發(fā)動機(jī)

　　遠(yuǎn)程培訓(xùn)改變了我的教育教學(xué)的思維方式，給了我前行的動力。每天打開電腦的第一件事，就是登陸我們的班級，在新的作業(yè)、日志、研討話題中汲取我需要的營養(yǎng)。從專家學(xué)者那里學(xué)到了很多，也從身邊的優(yōu)秀教師那里學(xué)到了很多。學(xué)習(xí)的過程是短暫的，但學(xué)習(xí)的效果是實(shí)實(shí)在在的。

　　這次學(xué)習(xí)，我將會對遠(yuǎn)程培訓(xùn)有了更加深入的了解，也會更深刻地理解所包含的教育理念，更好的做好新課改工作。通過本次遠(yuǎn)程培訓(xùn)學(xué)習(xí)，我得到的不僅僅是知識，更重要的是一種理念，它將在我們今后的工作中發(fā)揮更大的作用。通過培訓(xùn)的平臺，利用網(wǎng)絡(luò)資源，不斷的學(xué)習(xí)，不斷挑戰(zhàn)自己，超越自己，跟上時(shí)代的步伐，努力實(shí)踐，爭取使自身教育教學(xué)水平有較快提高，努力適應(yīng)二十一世紀(jì)對學(xué)習(xí)型創(chuàng)新人才的新要求。

小學(xué)數(shù)學(xué)培訓(xùn)總結(jié)7

　　20xx年12月14日到12月28日，我有幸參加了河南省國培計(jì)劃鄉(xiāng)村教師訪名校培訓(xùn)，半個(gè)月的培訓(xùn)中，我聆聽專家講座、觀摩名師課堂、參觀特色學(xué)校，促使我在教學(xué)思想上提高，教學(xué)方式上改進(jìn)，教學(xué)思路拓展。

　　一、 課堂教學(xué)從讀懂教材和讀懂學(xué)生起步

　　張紅娜老師的講座《讀懂教材與讀懂學(xué)生》讓我受益彼多。

　　首先，看教材的視角更客觀了。教材是依據(jù)、權(quán)威、材料、范例、思路和參考，而不是圣經(jīng)、唯權(quán)、唯一、專利、定路和照搬。要吃透教材，靈活使用。葉圣陶先生說材料無非是個(gè)例子，這句話常為語文老師信奉，其實(shí)數(shù)學(xué)更是如此，了解了教材的編寫意圖，就能全面把握數(shù)學(xué)知識體系、層進(jìn)、思維過程、研究辦法。只有讀懂教材才能靈活用好教材。

　　其次，研討教材的策略更全面了。研究教材的策略包括：一是關(guān)注整套教材的基本結(jié)構(gòu)，依據(jù)教材目錄，理清主要內(nèi)容在各學(xué)段、各冊的分布情況，把準(zhǔn)目標(biāo)的階段性和連續(xù)性。二是依據(jù)例題分析知識點(diǎn)，分割課時(shí)，確定課時(shí)教學(xué)目標(biāo)。三是依據(jù)例題分析習(xí)題，關(guān)注例題與習(xí)題的匹配與關(guān)聯(lián)，分清習(xí)題的層次。這些策略宏觀研討與個(gè)案研究相結(jié)合，從整體到部分，從抽象到具體、從目標(biāo)到實(shí)施，增強(qiáng)了備課的系統(tǒng)性和連貫性，有綱舉目張、事半功倍的效果。

　　其三，研讀學(xué)生是備課的重要環(huán)節(jié)。讀懂學(xué)生有利于選準(zhǔn)教學(xué)的起點(diǎn)，合理做出教學(xué)的決策，正確把握教學(xué)的走向，讓課堂教學(xué)更厚重。我常和同事分享“直面學(xué)生實(shí)際”這方面的心得。張老師的觀點(diǎn)和我不謀而合。讀懂學(xué)生才能直面學(xué)生的實(shí)際，如何讀懂學(xué)生，張老師的答案內(nèi)容豐富。教師要有“五心”，即：苦心、潛心、真心、用心和有心。有心的老師才能專業(yè)地讀懂教材、用心地讀懂學(xué)生、智慧地讀懂課堂。

　　二、把握數(shù)學(xué)本質(zhì)是高效課堂建設(shè)的核心

　　李有珍老師的報(bào)告《把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，設(shè)計(jì)有效學(xué)習(xí)活動》做得精彩，很好詮釋了高效課堂構(gòu)建的內(nèi)涵。

　　首先是要把握數(shù)學(xué)的十個(gè)核心概念，即：數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)學(xué)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識。十個(gè)核心概念是數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)、施教過程、成績考核的出發(fā)點(diǎn)，更歸宿點(diǎn);是數(shù)學(xué)課堂設(shè)計(jì)不走過場、不搞花架子、不求假熱鬧的指導(dǎo)核心。

　　其次是靈活選用有效教學(xué)的方法。李有珍開出的單方全面而實(shí)惠，包括：一是順驗(yàn)而研;二是設(shè)置開放的問題;三是建立聯(lián)系，探究本質(zhì);四是打通生活背景到符號形式的通道，實(shí)現(xiàn)生活數(shù)學(xué)到學(xué)科數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化;五是學(xué)習(xí)的境界在于知識的累加，而在于學(xué)生的自我完善、超越與創(chuàng)新。這些方法與我平常探究的小組合作是一脈相承的。我在小組中常用組間同質(zhì)、組內(nèi)異質(zhì)的方式組織學(xué)習(xí)活動，重點(diǎn)落在學(xué)生之間的幫帶作用發(fā)揮上。明白了李老師這些學(xué)習(xí)策略的構(gòu)建方式后，我對不同學(xué)習(xí)任務(wù)、不同學(xué)習(xí)目的選用不同方式有了更深理解，特別是在特長生培訓(xùn)、重點(diǎn)難點(diǎn)突破時(shí)，合理用好同質(zhì)組，效果肯定會更好。正好李老師說的：“有效活動課堂設(shè)計(jì)，須秉持主觀立場，設(shè)計(jì)豐富的體驗(yàn)路徑，支持學(xué)生釋放潛能，刷新狀態(tài)，構(gòu)建數(shù)學(xué)本質(zhì)，培養(yǎng)核心素養(yǎng)，讓生命成長，讓學(xué)生成為最好的自己!”

　　再次，讓數(shù)學(xué)思想成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的靈魂。楊�；劾蠋煹膱�(bào)告《走在教與學(xué)的路上》深入淺出，對高效課堂建設(shè)提供了新視角。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的“靈魂”。它抽象、推理、模型，是溝通數(shù)學(xué)與外部世界的橋梁。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的“靈魂”。它抽象、推理、模型，是溝通數(shù)學(xué)與外部世界的橋梁。在小學(xué)階段有意滲透的數(shù)學(xué)思想有：轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、集合的思想方法、對應(yīng)的思想、化歸的思想、歸納的思想、符號化的思想、統(tǒng)計(jì)的思想。在教學(xué)中，我們不僅要重視知識形成過程，還要發(fā)掘在數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、形成和發(fā)展過程中所蘊(yùn)藏的重要思想方法，不失時(shí)機(jī)地進(jìn)行思想方法的滲透。真正留給學(xué)生“捕魚的方法”。

　　值得記憶還有武婓老師執(zhí)教《合理安排時(shí)間》一堂課。她四次創(chuàng)設(shè)情景，層層遞進(jìn)，用豐富的情趣，靈活的形式，引領(lǐng)孩子體會合理安排時(shí)間和辦法，從發(fā)散思維的誘導(dǎo)再到優(yōu)化思維的點(diǎn)撥，從生活活動安排體會生命意義，為純潔的'心靈播下惜時(shí)用時(shí)的陽光種子，令人嘆服。是高效課堂構(gòu)建的范例之一。

　　老師們通過或嚴(yán)謹(jǐn)、或詼諧、或簡練、或生動的語言重新講述這些專業(yè)知識，喚醒了我曾經(jīng)的知識經(jīng)驗(yàn)，再加上老師們舉出的各種真實(shí)生動的教學(xué)案例。我突然明白了什么是理論與實(shí)踐相結(jié)合，什么叫事半功倍。我想在以后的工作中我會更多的去思考怎樣把理論與實(shí)踐結(jié)合起來，在高效課堂構(gòu)建中有所提升。

　　三、教育理想是職業(yè)生命精彩的基石

　　王茝老師的報(bào)告《丹心育桃李，書香沁人生》從教師職業(yè)素養(yǎng)的角度詮釋生命的意義。

　　考師范、當(dāng)老師、做農(nóng)村教師，曾經(jīng)的我們懷揣夢想激情滿滿，但工作之后面對著地理位置偏僻、教師資源緊缺等問題，我們難免會躊躇，會彷徨。但參加了這次培訓(xùn)，聽了這么多專業(yè)引領(lǐng)的報(bào)告、參觀了幾所特色學(xué)校之后，讓我看到了農(nóng)村小學(xué)發(fā)展、教師發(fā)展的“有可能”，看到了挖掘?qū)W校特色、發(fā)展學(xué)生和教師特長、組建一個(gè)好教師團(tuán)隊(duì)、錘煉一位名師、成就一個(gè)好學(xué)校的希望。正如王茝教授說：系統(tǒng)內(nèi)任何一個(gè)分子的改變都會引起整個(gè)系統(tǒng)的改變。如果我們有一個(gè)人清晰了前進(jìn)的方向，那我們一起朝前走的時(shí)刻還會遠(yuǎn)嗎?

　　當(dāng)然，以上三點(diǎn)不足以概括本次培訓(xùn)的收獲。但我明白教育的事業(yè)是美好的，教師的職業(yè)是幸福的。在新的時(shí)代，我們要在開放的視角下，通過專業(yè)發(fā)展，打造精彩的職業(yè)生命，成就多彩的數(shù)。

小學(xué)數(shù)學(xué)培訓(xùn)總結(jié)8

　　通過這次的培訓(xùn)學(xué)習(xí)，本人收獲較大，獲益匪淺，學(xué)到了許多新的知識，也看到了自己與他人的差距，眼界開闊了、思考問題能站在更高的境界，許多疑問得到了解決或者啟發(fā)。對我們的教育與新課程又有了一個(gè)新的認(rèn)識。在今后的教學(xué)實(shí)踐中，要努力學(xué)習(xí)不斷提高自己的業(yè)務(wù)水平，這次培訓(xùn)讓我深有感觸：

　　一、在這段時(shí)間的培訓(xùn)中，先后有幸聽到幾位優(yōu)秀教育專家給我們做的培訓(xùn)報(bào)告，深受啟發(fā)。報(bào)告中，幾位專家對小學(xué)數(shù)學(xué)的教育的方向和方法、小學(xué)教師專業(yè)標(biāo)準(zhǔn)解讀、課堂觀察技術(shù)與方法、校本研修與在崗實(shí)踐等方面做了深入細(xì)致的講解，讓我聽了受益匪淺，他們的報(bào)告很貼切我們?nèi)粘５慕虒W(xué)活動，對我們?nèi)粘５慕虒W(xué)活動有很大的幫助。通過他們的講解，使我知道原來平時(shí)的數(shù)學(xué)課也可以有閃光的亮點(diǎn)，只要我們教師是個(gè)有心人，從點(diǎn)滴做起，定會把數(shù)學(xué)課堂變成學(xué)生最愿意呆的課堂。

　　二、理智型的教學(xué)需要反思。它是一種理性的以職業(yè)道德、職業(yè)知識作為教學(xué)活動的本出發(fā)點(diǎn)，努力追求教學(xué)實(shí)踐的合理性。從經(jīng)驗(yàn)型教學(xué)走向理智型教學(xué)的關(guān)鍵步驟就是教學(xué)反思。對一名數(shù)學(xué)教師而言教學(xué)反思可以從以下幾個(gè)方面展開：對數(shù)學(xué)概念的反思、對學(xué)數(shù)學(xué)的反思、對教數(shù)學(xué)的反思。

　　三、教得好本質(zhì)上是為了促進(jìn)學(xué)得好。但在實(shí)際教學(xué)過程中是否能夠合乎我們的意愿呢？我們在上課、評卷、答疑解難時(shí)，我們自以為講清楚明白了，學(xué)生受到了一定的啟發(fā)，

　　但反思后發(fā)現(xiàn)，自己的.講解并沒有很好的針對學(xué)生原有的知識水平，從根本上解決學(xué)生存在的問題，只是一味的想要他們按照某個(gè)固定的程序去解決某一類問題，學(xué)生當(dāng)時(shí)也許明白了，但并沒有理解問題的本質(zhì)性的東西。

　　新課程對教師提出了教育專業(yè)工作者的要求，我們只有作好充分的準(zhǔn)備，進(jìn)行精心的教學(xué)設(shè)計(jì)，才會在教學(xué)中使學(xué)生真正地動起來，經(jīng)歷＂與人合作，并與同伴交流思維的過程和結(jié)果＂，使學(xué)生善于傾聽他人發(fā)言，樂于陳述自己的想法，敢于修正他人的觀點(diǎn)，勇于接受他人的意見；這些都有利學(xué)生主動地參與學(xué)習(xí)，有利于提高個(gè)體的學(xué)習(xí)動力和能力，才會使他們感到無限快樂，感到自己精神的、智慧的力量在增長，使學(xué)生的個(gè)性得以充分的發(fā)展。

　　通過這次研修學(xué)習(xí)，我找到了以前教學(xué)中遇到的困惑和難點(diǎn)的解決方法；通過這次研修學(xué)習(xí)，對我的各方面都有很大的提升�？偠�言之，“終身學(xué)習(xí)，終身受益”深入人心。這次培訓(xùn)結(jié)束了，留給我許多寶貴的知識，我要以這次培訓(xùn)會為起點(diǎn)，在以后的教學(xué)中慢慢吸收這些知識，做一名合格的進(jìn)而優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教師。

小學(xué)數(shù)學(xué)培訓(xùn)總結(jié)9

　　345優(yōu)質(zhì)高效課堂，“345”的含義是指三個(gè)步驟、四個(gè)環(huán)節(jié)、五種基本課型，三個(gè)步驟是課前延伸—課內(nèi)探究—課后提升，四個(gè)環(huán)節(jié)是自主學(xué)習(xí)、合作探究、精講點(diǎn)撥、鞏固檢測，五種課型，各學(xué)科有所不同。這次上壽光暑期培訓(xùn)，聽取了來自不同縣市區(qū)的名師所執(zhí)教的五節(jié)精彩的小學(xué)數(shù)學(xué)課，就是數(shù)學(xué)科目的五種典型課型。

　　小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容大致有這些：數(shù)的認(rèn)識、數(shù)的運(yùn)算、量與計(jì)算、比和比例、式與方程、幾何圖形、統(tǒng)計(jì)與可能性等，根據(jù)內(nèi)容的不同可以選用不同的課型。

　　第一節(jié)課是來自壽光世紀(jì)學(xué)校王老師執(zhí)教的二年級數(shù)學(xué)內(nèi)容《乘法的認(rèn)識》，數(shù)學(xué)內(nèi)容中的所有概念、定律、性質(zhì)、法則、公式等都屬于數(shù)學(xué)概念，這節(jié)課屬于概念教學(xué)。先看《乘法的認(rèn)識》這節(jié)課的教學(xué)過程（根據(jù)課件簡述教學(xué)設(shè)計(jì)），突出優(yōu)點(diǎn)首先是創(chuàng)設(shè)情景、提出問題，讓學(xué)生列式解答，觀察算式特點(diǎn)，那復(fù)雜算式呢，思考解決辦法，其次是概括總結(jié)出乘法的概念后，及時(shí)進(jìn)行應(yīng)用辨析，這也是我們老師在講概念課時(shí)值得借鑒的地方。概念教學(xué)的流程按教學(xué)側(cè)重點(diǎn)不同大致分為四個(gè)階段：第一個(gè)階段（變魔術(shù)、提問題）創(chuàng)設(shè)情境，提出問題，促思定向——第二階段（列算式、找特點(diǎn)）自主探索，合作交流，感知概念——第三階段（求簡單、學(xué)乘法）精講點(diǎn)撥，內(nèi)化提升，形成概念——第四階段（巧練習(xí)、促鞏固）練習(xí)鞏固，反思評價(jià)，矯正補(bǔ)缺。

　　第二節(jié)課是來自高密市第二實(shí)驗(yàn)小學(xué)侯老師執(zhí)教的一節(jié)三年級數(shù)學(xué)課《統(tǒng)計(jì)與可能性》，這節(jié)課《統(tǒng)計(jì)與可能性》是青島版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)（三年級上冊）》第82—83頁所學(xué)的內(nèi)容。先看《統(tǒng)計(jì)與可能性》這節(jié)課的教學(xué)過程（根據(jù)課件簡述教學(xué)設(shè)計(jì)），突出優(yōu)點(diǎn)是以小組的形式自主學(xué)習(xí)、合作探究，而且老師及時(shí)評價(jià)，練習(xí)題多容量大。此課型的教學(xué)過程有四個(gè)環(huán)節(jié)：一是游戲引入，激發(fā)興趣；二是精心設(shè)問，引出新知；三是操作驗(yàn)證，探究新知；四是梯度練習(xí)，鞏固新知。統(tǒng)計(jì)與可能性這部分內(nèi)容在授課時(shí)關(guān)鍵是練習(xí)題的設(shè)計(jì)上要靈活多變而且切合實(shí)際生活。例如：要設(shè)計(jì)一個(gè)轉(zhuǎn)盤，紅綠兩種顏色，指針指向紅色獎(jiǎng)書包，指針轉(zhuǎn)到綠色獎(jiǎng)鉛筆。如果你是一個(gè)商店老板會怎樣設(shè)計(jì)這個(gè)轉(zhuǎn)盤，如果你是一個(gè)聰明的顧客又會怎樣設(shè)計(jì)這個(gè)轉(zhuǎn)盤呢？

　　第三節(jié)課是來自奎文區(qū)濰坊日向友好學(xué)校王XX老師執(zhí)教的一節(jié)六年級數(shù)學(xué)課《平面圖形的復(fù)習(xí)》，我們期末考試大多用的是奎文區(qū)的試卷，題目非常新穎靈活，聽了這節(jié)課我深深感覺到我們與他們的教科研上有很大差距。先看《平面圖形的復(fù)習(xí)》這節(jié)課的教學(xué)過程（根據(jù)課件簡述教學(xué)設(shè)計(jì)），突出優(yōu)點(diǎn)是：一是王老師通過讓學(xué)生解決——“中隊(duì)旗用多少布料。”這一問題，與開課所提及的問題前后呼應(yīng)，又有利于拓展學(xué)生多角度思考和聯(lián)系實(shí)際解決問題的能力，同時(shí)注重了解決問題方法的多樣性，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。二是最后通過——“想象大沖浪”這一輕松而富有智慧的練習(xí)既鞏固了面積計(jì)算公式同時(shí)又培養(yǎng)了學(xué)生合理想象的能力，可謂一舉兩得。三是王老師在課的最后以“精神快餐”和“學(xué)習(xí)訣竅”的`形式對課進(jìn)行總結(jié)，富有哲理，耐人尋味，發(fā)人深思，給人啟迪，從而潛移默化地使學(xué)生的思維得到升華，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)起到了很好的啟發(fā)和引領(lǐng)作用。

　　通過這節(jié)課我們一塊研討一下復(fù)習(xí)課。復(fù)習(xí)課的主要任務(wù)是：幫助學(xué)生梳理知識，形成網(wǎng)絡(luò)，使知識系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，以加深對知識的理解及知識之間內(nèi)在聯(lián)系的把握，并在梳理的同時(shí)查漏補(bǔ)缺，彌補(bǔ)平時(shí)學(xué)習(xí)的薄弱環(huán)節(jié)。通過綜合應(yīng)用，幫助學(xué)生進(jìn)一步鞏固和熟練掌握基本知識，基本技能以及基本的數(shù)學(xué)思想和方法，幫助學(xué)生揭示解題規(guī)律，總結(jié)解題方法，進(jìn)一步提高學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題的能力。并在對數(shù)學(xué)知識的綜合應(yīng)用中，進(jìn)一步提高觀察能力，記憶能力，抽象概括能力，邏輯推理能力，化歸轉(zhuǎn)化能力，空間想象能力、數(shù)學(xué)化的能力、運(yùn)算能力和探索創(chuàng)新能力。本節(jié)復(fù)習(xí)課教學(xué)的基本流程是：創(chuàng)設(shè)情境，激趣導(dǎo)入、激發(fā)學(xué)習(xí)動機(jī)——自主探究，構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)，呈現(xiàn)原有認(rèn)知——合作交流，方法指引，構(gòu)建升華認(rèn)知——綜合運(yùn)用，解決實(shí)際問題，思維拓展。

　　第四節(jié)課是來自諸城市新藝學(xué)校郭老師執(zhí)教的一節(jié)四年級數(shù)學(xué)課《解決問題》，其教學(xué)內(nèi)容是青島版四年級上冊第三單元揚(yáng)帆奧運(yùn)P45頁窗口5，教學(xué)目標(biāo)是

　　1、完成三步解決問題的學(xué)習(xí)任務(wù)；

　　2、使學(xué)生進(jìn)一步學(xué)會分析問題解決問題的方法；

　　3、在解決問題的同時(shí)完成四則混和運(yùn)算的學(xué)習(xí)任務(wù)。

　　先看《解決問題》這節(jié)課的教學(xué)過程（根據(jù)課件簡述教學(xué)設(shè)計(jì)），突出優(yōu)點(diǎn)是：一是這節(jié)課以“愛我中華”“愛我山東” “愛我家鄉(xiāng)”為主線，情感教育濃厚，二是注重培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的思路和方法，我們上課經(jīng)常提問學(xué)生這道題怎樣做呢，而郭德艷老師是多遍讓學(xué)生分析這道題，這樣才能讓學(xué)生從根本上學(xué)會解決應(yīng)用題。

　　第五節(jié)課是來自昌邑·奎聚小學(xué)的徐老師執(zhí)教的一節(jié)五年級數(shù)學(xué)課《長方體與正方體的認(rèn)識》，這是幾何圖形部分的新授課課型，先看《長方體與正方體的認(rèn)識》這節(jié)課的教學(xué)過程（根據(jù)課件簡述教學(xué)設(shè)計(jì)），她的課堂和她一開始所倡導(dǎo)的“請發(fā)揮你們的超常智慧，打造咱們“好玩”的數(shù)學(xué)課堂”是一樣的，她的這節(jié)課也可以用“好玩”來形容，沒有聽夠，她的語言幽默詼諧，課堂氣氛活躍，完全把學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣調(diào)動起來了，而且學(xué)習(xí)上照顧到了每一位學(xué)生甚至是差生。這與昌邑的數(shù)學(xué)教研員的要求是分不開的，在課堂上他們提倡一老師要有激情、二老師要學(xué)會等待讓學(xué)生展現(xiàn)出自己的思維想法后再糾正點(diǎn)評、三盡量不讓每一個(gè)學(xué)生掉隊(duì)。這些徐老師在課堂上做的游刃有余，并且徐老師在讓學(xué)生進(jìn)行自主探究之前，用切土豆（第一步出面，第二步出棱，第三步出頂點(diǎn)）的方法讓學(xué)生形象的認(rèn)識鞏固了面、棱、頂點(diǎn)，而且又讓學(xué)生親手摸一摸，感觸一下，更加深了對它們的認(rèn)識。小組合作后的匯報(bào)總結(jié)徐老師評價(jià)及時(shí)，大大提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。在這節(jié)課的最后，徐老師讓學(xué)生們暢所欲言，談?wù)勥@節(jié)課你的收獲是什么？你有遺憾嗎？學(xué)生回答積極踴躍，使這節(jié)課再次進(jìn)入高潮。一群素未蒙面的孩子，能把他們的學(xué)習(xí)積極性調(diào)動起來，而且各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)都完成的如此之恰到好處，使我對他油然而生欽佩之情。

　　最后市教科院侯老師提出了今年小學(xué)數(shù)學(xué)老師的研究內(nèi)容——高效課堂與數(shù)學(xué)化，他分為水平方向的數(shù)學(xué)化和垂直方向的數(shù)學(xué)化。

　　作為一名心系錦程的普通老師，在這新學(xué)期開學(xué)之初談?wù)勎覍ξ倚＝炭蒲蟹矫娴囊稽c(diǎn)拙見。教科研是推動學(xué)校發(fā)展的主要?jiǎng)恿Γ�一流的教育必須以一流的科研來支撐�，F(xiàn)在我校教育科研存在著上面重視、下面漠視、個(gè)體忽視的現(xiàn)實(shí)困境。一個(gè)教師如果長期不對其工作進(jìn)行研究，久而久之就可能對教育工作產(chǎn)生疲憊心理。而一旦參加到教育科研中來，接觸的知識多了，思考的問題深了，每天就有新的發(fā)現(xiàn)和體驗(yàn)，必然會受到學(xué)生的歡迎，隨著教育質(zhì)量的提高，自身的價(jià)值也必然會得到各方的承認(rèn)。所以首先學(xué)校的教科研工作應(yīng)常抓不懈，落到實(shí)處，走教學(xué)與科研相結(jié)合的道路，作為一名教師，應(yīng)該由經(jīng)驗(yàn)型的教師向?qū)W者型、科研型教師轉(zhuǎn)變。其次學(xué)校評價(jià)老師的機(jī)制應(yīng)該有所改變，鼓勵(lì)教科研和教學(xué)突出者。學(xué)校的科研可以分為兩個(gè)層次：第一個(gè)層次為教研活動，帶有較強(qiáng)的行政色彩，跟日常教學(xué)的進(jìn)度相協(xié)調(diào)。第二個(gè)層次為專題研究（即學(xué)校教科研），由教師個(gè)人或若干教師組成的集體，結(jié)合教育教學(xué)工作實(shí)際，進(jìn)行側(cè)重探求某一教育教學(xué)規(guī)律的研究。以上是我的一點(diǎn)想法，我也只是過過嘴癮，實(shí)際的工作我也說了不算，不當(dāng)之初多擔(dān)待，總之，只要每個(gè)人能做到“在其位，謀其事”，學(xué)校一定有所發(fā)展。

小學(xué)數(shù)學(xué)培訓(xùn)總結(jié)10

　　在全員教師90課時(shí)的培訓(xùn)啟動初，我有幸參加了長興進(jìn)修學(xué)校舉辦的第一屆小學(xué)數(shù)學(xué)高級研修班的培訓(xùn)。這次培訓(xùn)內(nèi)容豐富，形式多樣，有各級專家的專題報(bào)告，有優(yōu)秀教師的教學(xué)展示，有學(xué)員的教學(xué)展示、專家評課，也有學(xué)員的互動討論，更有專家的指導(dǎo)、引領(lǐng)。通過理論的培訓(xùn)學(xué)習(xí)再到現(xiàn)場的教學(xué)觀摩與實(shí)踐操作。這一次的學(xué)習(xí)，對我既有觀念上的洗禮，也有理論上的提高，既有知識上的積淀，也有教學(xué)技藝的增長。本次活動主要針對教師存在的一些常見的問題設(shè)置課程，如：如何備課說課；如何有效教學(xué)；如何撰寫案例；提高教師的解題能力等課程，開展了為期12天的培訓(xùn)。主要分了3個(gè)階段，每一個(gè)階段都各有收獲。

　　第一階段是專家和教學(xué)名師的講座和交流。他們精彩的講座一次次地激起我內(nèi)心的感應(yīng)，更激起了我的反思。由于平時(shí)忙于教學(xué)，很少有機(jī)會靜下心來讀書，來到這里一下子聽了那么多專家同行的講座，記了厚厚的筆記，回到家細(xì)細(xì)品味、慢慢消化。使我對教育教學(xué)的理論與方法掌握得更加系統(tǒng)，讓我感到比原來站得高，看得遠(yuǎn)了，有一種“天更藍(lán)、地更綠、水更清”的感覺。如楊海榮教研員與丁杭纓校長的精彩講座《小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀與案例分析》和《基于學(xué)生學(xué)習(xí)的小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的研究與思考》讓我們感受到了“思考”對一名教師成長的重要性。反思不僅能讓我們認(rèn)識自身在教育教學(xué)上的不足，還能讓我們認(rèn)識到只有通過努力，只有加強(qiáng)學(xué)習(xí)，才能做好一名優(yōu)秀的教師。在教學(xué)前要對學(xué)生進(jìn)行分析思考；教學(xué)中要對自己的課堂預(yù)設(shè)進(jìn)行分析思考；教學(xué)后要對教學(xué)效果進(jìn)行分析思考。只有不斷地探索不斷地反思才有進(jìn)步與提高。專家們精彩的講座也讓我們親身感受到了這些特級教師身上獨(dú)特的魅力與光環(huán)后的艱辛。再如吳慧婷老師的《小學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)與概率知識結(jié)構(gòu)》、韓孔亮老師的《數(shù)與代數(shù)、解決問題教學(xué)建議》以及章炳良老師的《空間與圖形》，他們生動的講解、細(xì)致的闡述、典型的案例，帶領(lǐng)著我們這些年輕教師從宏觀上重新審視和解讀了整個(gè)小學(xué)階段的數(shù)學(xué)教材，在梳理和反思中基本功得到提升。

　　第二階段是備課說課。我們共60位學(xué)員，每15人分為一組，分成4大組，每組確定一塊知識領(lǐng)域進(jìn)行備課、說課及上課。每組有3位導(dǎo)師全程指導(dǎo)。我參與的是“統(tǒng)計(jì)與概率”這一知識領(lǐng)域。在確定內(nèi)容：三上《可能性》后全組成員各自備課并逐一說課。組員們巧妙的構(gòu)思、特色的教學(xué)在說課過程淋漓盡致地展現(xiàn)出來，這種形式讓大家可以互相學(xué)習(xí)，取長補(bǔ)短，以求共同進(jìn)步。

　　第三階段是上課評課。在說課的基礎(chǔ)上我們每組推選出6堂課進(jìn)行賽課，課后大家圍坐在一起暢所欲言，各抒己見，把教學(xué)中經(jīng)歷的困惑、感受進(jìn)行交流，并發(fā)表自己的見解。通過教師之間互相聽課和評課這種形式實(shí)實(shí)在在地提高自身的教學(xué)水平，而且每個(gè)人的評課水平也得到了提高，導(dǎo)師的點(diǎn)評更是起到了畫龍點(diǎn)睛的作用。用團(tuán)體的智慧打磨出的金點(diǎn)子融入課堂教學(xué)設(shè)計(jì)中，最后每一大組推出兩堂精品課作為展示并進(jìn)行課堂教學(xué)比武。在這期間，每一位老師都做好了隨時(shí)應(yīng)戰(zhàn)的準(zhǔn)備，誰都不敢懈怠。認(rèn)真鉆研教材分析教材，精心設(shè)計(jì)教學(xué)過程。

　　幸運(yùn)的是我還參與的教學(xué)比武的最后角逐，用我個(gè)人的課堂展示了我們第一小組的集體智慧。最終以一等獎(jiǎng)的優(yōu)異成績給我們小組畫上了圓滿的句號。雖然課堂教學(xué)得了一等獎(jiǎng)，但我對《可能性》這節(jié)課的教學(xué)設(shè)想還沒有結(jié)束。在我的課堂上還留下了許多的遺憾與困惑。省特級教師范新林老師的點(diǎn)評給了我很多想法與幫助。診斷課堂教學(xué)的.好壞不僅僅局限在課堂上尷尬的一面，平靜的背后學(xué)生又學(xué)會了多少？他教會了我們?nèi)绾胃�深層次地關(guān)注學(xué)生的生成問題。什么時(shí)候要小組活動？小組活動到底要怎么活動才最有效？他都結(jié)合我們學(xué)元的課堂一一闡述。讓人聽了言簡意賅、清楚明了�！跋胂笠彩且环N操作。有事想象操作更利于動手操作”他的這些點(diǎn)評讓我茅塞頓開，深受啟發(fā)。

　　在這緊張而忙碌的12天中，我們不僅僅學(xué)到了知識與技能，更感受到了集體的溫暖。特別是確定我上展示課后，短短的時(shí)間里要傷處一堂精彩的課來，我犯難了�？稍谖乙苫蟮臅r(shí)候組員們積極討論、毫無保留地為我出謀劃策；導(dǎo)師更是放棄休息時(shí)間，坐在我的身旁細(xì)心指導(dǎo)。在我千頭萬緒、手忙腳亂的時(shí)候，組員們總在我身邊幫忙做課件，幫忙分學(xué)具，幫忙印作業(yè)紙。導(dǎo)師也忙前忙后給我鼓勁打氣。感覺就像一個(gè)溫暖的大家庭，給了我十足的動力與勇氣。

　　培訓(xùn)只是一個(gè)手段，培訓(xùn)只是一個(gè)開端，對于培訓(xùn)給予的清泉，我要讓它細(xì)水長流。真正感到教育是充滿智慧的事業(yè)，深刻意識到自己肩負(fù)的責(zé)任。寫在紙上的是思想的足跡，化作動力的是思想的延伸，我們得到的是人格的提升、生命的升華。

　　“路漫漫其修遠(yuǎn)兮，吾將上下而求索”我深知自己離優(yōu)秀教師還有一大截的差距，我將以這次教師培訓(xùn)為契機(jī)，在今后工作中，我要更加努力，發(fā)揚(yáng)優(yōu)點(diǎn)，開拓進(jìn)取，取得更新的成績。

小學(xué)數(shù)學(xué)培訓(xùn)總結(jié)11

　　345優(yōu)質(zhì)高效課堂，“345”的含義是指三個(gè)步驟、四個(gè)環(huán)節(jié)、五種基本課型，三個(gè)步驟是課前延伸—課內(nèi)探究—課后提升，四個(gè)環(huán)節(jié)是自主學(xué)習(xí)、合作探究、精講點(diǎn)撥、鞏固檢測，五種課型，各學(xué)科有所不同。這次上壽光暑期培訓(xùn)，聽取了來自不同縣市區(qū)的名師所執(zhí)教的五節(jié)精彩的小學(xué)數(shù)學(xué)課，就是數(shù)學(xué)科目的五種典型課型。

　　小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容大致有這些：數(shù)的認(rèn)識、數(shù)的運(yùn)算、量與計(jì)算、比和比例、式與方程、幾何圖形、統(tǒng)計(jì)與可能性等，根據(jù)內(nèi)容的不同可以選用不同的課型。

　　第一節(jié)課是來自壽光世紀(jì)學(xué)校王琳琳老師執(zhí)教的二年級數(shù)學(xué)內(nèi)容《乘法的認(rèn)識》，數(shù)學(xué)內(nèi)容中的所有概念、定律、性質(zhì)、法則、公式等都屬于數(shù)學(xué)概念，這節(jié)課屬于概念教學(xué)。先看《乘法的認(rèn)識》這節(jié)課的教學(xué)過程（根據(jù)課件簡述教學(xué)設(shè)計(jì)），突出優(yōu)點(diǎn)首先是創(chuàng)設(shè)情景、提出問題，讓學(xué)生列式解答，觀察算式特點(diǎn)，那復(fù)雜算式呢，思考解決辦法，其次是概括總結(jié)出乘法的概念后，及時(shí)進(jìn)行應(yīng)用辨析，這也是我們老師在講概念課時(shí)值得借鑒的地方。概念教學(xué)的流程按教學(xué)側(cè)重點(diǎn)不同大致分為四個(gè)階段：第一個(gè)階段（變魔術(shù)、提問題）創(chuàng)設(shè)情境，提出問題，促思定向——第二階段（列算式、找特點(diǎn)）自主探索，合作交流，感知概念——第三階段（求簡單、學(xué)乘法）精講點(diǎn)撥，內(nèi)化提升，形成概念——第四階段（巧練習(xí)、促鞏固）練習(xí)鞏固，反思評價(jià)，矯正補(bǔ)缺。

　　第二節(jié)課是來自高密市第二實(shí)驗(yàn)小學(xué)侯淑嫻老師執(zhí)教的一節(jié)三年級數(shù)學(xué)課《統(tǒng)計(jì)與可能性》，這節(jié)課《統(tǒng)計(jì)與可能性》是青島版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)（三年級上冊）》第82-83頁所學(xué)的內(nèi)容。先看《統(tǒng)計(jì)與可能性》這節(jié)課的教學(xué)過程（根據(jù)課件簡述教學(xué)設(shè)計(jì)），突出優(yōu)點(diǎn)是以小組的形式自主學(xué)習(xí)、合作探究，而且老師及時(shí)評價(jià)，練習(xí)題多容量大。此課型的教學(xué)過程有四個(gè)環(huán)節(jié)：一游戲引入，激發(fā)興趣；二精心設(shè)問，引出新知；三操作驗(yàn)證，探究新知；四梯度練習(xí)，鞏固新知。統(tǒng)計(jì)與可能性這部分內(nèi)容在授課時(shí)關(guān)鍵是練習(xí)題的.設(shè)計(jì)上要靈活多變而且切合實(shí)際生活。例如：要設(shè)計(jì)一個(gè)轉(zhuǎn)盤，紅綠兩種顏色，指針指向紅色獎(jiǎng)書包，指針轉(zhuǎn)到綠色獎(jiǎng)鉛筆。如果你是一個(gè)商店老板會怎樣設(shè)計(jì)這個(gè)轉(zhuǎn)盤，如果你是一個(gè)聰明的顧客又會怎樣設(shè)計(jì)這個(gè)轉(zhuǎn)盤呢？

　　第三節(jié)課是來自奎文區(qū)濰坊日向友好學(xué)校王冬梅老師執(zhí)教的一節(jié)六年級數(shù)學(xué)課，我們期末考試大多用的是奎文區(qū)的試卷，題目非常新穎靈活，聽了這節(jié)課我深深感覺到我們與他們的教科研上有很大差距。先看《平面圖形的復(fù)習(xí)》這節(jié)課的教學(xué)過程（根據(jù)課件簡述教學(xué)設(shè)計(jì)），突出優(yōu)點(diǎn)是：

　　一是王老師通過讓學(xué)生解決——“中隊(duì)旗用多少布料。”這一問題，與開課所提及的問題前后呼應(yīng)，又有利于拓展學(xué)生多角度思考和聯(lián)系實(shí)際解決問題的能力，同時(shí)注重了解決問題方法的多樣性，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。

　　二是最后通過——“想象大沖浪”這一輕松而富有智慧的練習(xí)既鞏固了面積計(jì)算公式同時(shí)又培養(yǎng)了學(xué)生合理想象的能力，可謂一舉兩得。三是王老師在課的最后以“精神快餐”和“學(xué)習(xí)訣竅”的形式對課進(jìn)行總結(jié)，富有哲理，耐人尋味，發(fā)人深思，給人啟迪，從而潛移默化地使學(xué)生的思維得到升華，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)起到了很好的啟發(fā)和引領(lǐng)作用。

　　通過這節(jié)課我們一塊研討一下復(fù)習(xí)課。復(fù)習(xí)課的主要任務(wù)是：幫助學(xué)生梳理知識，形成網(wǎng)絡(luò)，使知識系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，以加深對知識的理解及知識之間內(nèi)在聯(lián)系的把握，并在梳理的同時(shí)查漏補(bǔ)缺，彌補(bǔ)平時(shí)學(xué)習(xí)的薄弱環(huán)節(jié)。通過綜合應(yīng)用，幫助學(xué)生進(jìn)一步鞏固和熟練掌握基本知識，基本技能以及基本的數(shù)學(xué)思想和方法，幫助學(xué)生揭示解題規(guī)律，總結(jié)解題方法，進(jìn)一步提高學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題的能力。并在對數(shù)學(xué)知識的綜合應(yīng)用中，進(jìn)一步提高觀察能力，記憶能力，抽象概括能力，邏輯推理能力，化歸轉(zhuǎn)化能力，空間想象能力、數(shù)學(xué)化的能力、運(yùn)算能力和探索創(chuàng)新能力。本節(jié)復(fù)習(xí)課教學(xué)的基本流程是：創(chuàng)設(shè)情境，激趣導(dǎo)入、激發(fā)學(xué)習(xí)動機(jī)——自主探究，構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)，呈現(xiàn)原有認(rèn)知——合作交流，方法指引，構(gòu)建升華認(rèn)知——綜合運(yùn)用，解決實(shí)際問題，思維拓展。

　　第四節(jié)課是來自諸城市新藝學(xué)校郭德燕老師執(zhí)教的一節(jié)四年級數(shù)學(xué)課《解決問題》，其教學(xué)內(nèi)容是青島版四年級上冊第三單元。教學(xué)目標(biāo)是：

　　1、完成三步解決問題的學(xué)習(xí)任務(wù)；

　　2、使學(xué)生進(jìn)一步學(xué)會分析問題解決問題的方法；

　　3、在解決問題的同時(shí)完成四則混和運(yùn)算的學(xué)習(xí)任務(wù)。

　　先看《解決問題》這節(jié)課的教學(xué)過程（根據(jù)課件簡述教學(xué)設(shè)計(jì)），突出優(yōu)點(diǎn)是：一是這節(jié)課以“愛我中華”“愛我山東” “愛我家鄉(xiāng)”為主線，情感教育濃厚，二是注重培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的思路和方法，我們上課經(jīng)常提問學(xué)生這道題怎樣做呢，而郭德艷老師是多遍讓學(xué)生分析這道題，這樣才能讓學(xué)生從根本上學(xué)會解決應(yīng)用題。

小學(xué)數(shù)學(xué)培訓(xùn)總結(jié)12

　　一、更深刻的理解了師德和師愛的真諦。

　　在教育中，一切師德要求都基于教師的人格，因?yàn)閹煹碌镊攘χ饕獜娜烁裉卣髦酗@示出來，歷代的教育家提出的“為人師表”、“以身作則”、“循循善誘”、“誨人不倦”、“躬行實(shí)踐”等，既是師德的規(guī)范，又是教師良好人格的品格特征的體現(xiàn)。在學(xué)生心目中，教師是社會的規(guī)范、道德的化身、人類的楷模、父母的替身。他們都把師德高尚的教師作為學(xué)習(xí)的榜樣，模仿其態(tài)度、情趣、品行、乃至行為舉止、音容笑貌、板書筆跡等。作為教師不僅要有高尚的師德還要給予學(xué)生關(guān)愛。每個(gè)學(xué)生都是一部書，都是一個(gè)故事，都是一首詩我們要知道的是嚴(yán)中有愛，愛中有嚴(yán)。要做到：嚴(yán)而有格、嚴(yán)而有度、嚴(yán)而有衡、嚴(yán)而有方、嚴(yán)而有情。北師大教授林崇德講過：“疼愛自己的孩子是本能，而熱愛別人的孩子是神圣！”因?yàn)榻處煂�學(xué)生的愛“在性質(zhì)上是一種只講付出不記回報(bào)的、無私的、廣泛的且沒有血緣關(guān)系的愛，在原則上是一種嚴(yán)慈相濟(jì)的愛。這種愛是神圣的。這種愛是教師教育學(xué)生的感情基礎(chǔ)，學(xué)生一旦體會到這種感情，就會‘親其師’，從而‘信其道’，也正是在這個(gè)過程中，教育實(shí)現(xiàn)了其根本的功能。因此，師愛就是師魂�！�

　　二、更進(jìn)一步理解了新課標(biāo)教學(xué)改革的重要性。

　　課堂教學(xué)是學(xué)校課程實(shí)施的主渠道。課堂改變了，學(xué)校教育才會改變；課堂優(yōu)質(zhì)，學(xué)生才會優(yōu)質(zhì)；課堂創(chuàng)新，學(xué)生才會創(chuàng)新；課堂進(jìn)步，教師才會成長。教師的學(xué)科知識水平不只是在職前專業(yè)學(xué)習(xí)中積累的，也是在職崗位研修中不斷充實(shí)、豐富起來的。在崗研修不同于職前學(xué)習(xí)，需要根據(jù)所教學(xué)科課程標(biāo)準(zhǔn)，從教學(xué)的價(jià)值定位出發(fā)，在深入鉆研，力求準(zhǔn)確挖掘所教學(xué)科知識的內(nèi)核、結(jié)構(gòu)、關(guān)聯(lián)和豐富價(jià)值的基礎(chǔ)上，根據(jù)兒童已有知識經(jīng)驗(yàn)對教材等教學(xué)資源進(jìn)行加工、重組，并選擇恰當(dāng)?shù)姆绞郊右猿尸F(xiàn)，避免粗淺、零散、狹隘、空洞等，提升學(xué)生學(xué)習(xí)與發(fā)展的質(zhì)量。

　　有了這次數(shù)學(xué)遠(yuǎn)程培訓(xùn)讓我深有感觸：第一、數(shù)學(xué)教學(xué)不能只憑經(jīng)驗(yàn)。從經(jīng)驗(yàn)中學(xué)習(xí)是每一個(gè)人天天都在做而且應(yīng)當(dāng)做的事情，然而經(jīng)驗(yàn)本身的局限性也是很明顯的，就數(shù)學(xué)教學(xué)活動而言，單純依賴經(jīng)驗(yàn)教學(xué)實(shí)際上只是將教學(xué)實(shí)際當(dāng)作一個(gè)操作性活動，即依賴已有經(jīng)驗(yàn)或套用學(xué)習(xí)理論而缺乏教學(xué)分析的簡單重復(fù)活動；將教學(xué)作為一種技術(shù)，按照既定的程序和一定的練習(xí)使之自動化。它使教師的教學(xué)決策是反應(yīng)的而非反思的、直覺的而非理性的，例行的而非自覺的。這樣從事教學(xué)活動，我們可稱之為經(jīng)驗(yàn)型的，認(rèn)為自己的教學(xué)行為傳遞的信息與學(xué)生領(lǐng)會的含義相同，而事實(shí)上這樣往往是不準(zhǔn)確的，因?yàn)閹熒�之間在數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)、社會生活閱歷等方面的差異使得這樣的感覺通常是不可靠的，甚至是錯(cuò)誤的。例如：多年來我們在上復(fù)習(xí)課的時(shí)候總有一個(gè)將知識做為小結(jié)的環(huán)節(jié)，而且都是由教師給出答案，例如用語言或圖表羅列出所學(xué)知識。第二、理智型的教學(xué)需要反思。它是一種理性的以職業(yè)道德、職業(yè)知識作為教學(xué)活動的基本出發(fā)點(diǎn)，努力追求教學(xué)實(shí)踐的合理性。從經(jīng)驗(yàn)型教學(xué)走向理智型教學(xué)的關(guān)鍵步驟就是教學(xué)反思。對一名數(shù)學(xué)教師而言教學(xué)反思可以從以下幾個(gè)方面展開：對數(shù)學(xué)概念的反思、對學(xué)數(shù)學(xué)的反思、對教數(shù)學(xué)的反思。1.對于學(xué)生來說，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要目的是要學(xué)會數(shù)學(xué)的思考，用數(shù)學(xué)的眼光去看世界。而對于教師來說，他還要從教的角度去看數(shù)學(xué)，他不僅要能做，還應(yīng)當(dāng)能夠教會別人去做，因此教師對教學(xué)概念的反思應(yīng)當(dāng)從邏輯的、歷史的.、關(guān)系的等方面去展開。2.當(dāng)學(xué)生走進(jìn)數(shù)學(xué)課堂時(shí)，他們的頭腦并不是一張白紙對數(shù)學(xué)有著自己的認(rèn)識和感受。教師不能把他們看著空的容器，按照自己的意思往這些空的容器里灌輸數(shù)學(xué)，這樣常常會進(jìn)入誤區(qū)，因?yàn)閹熒�之間在數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)、興趣愛好、社會生活閱歷等方面存在很大的差異，這些差異使得他們對同一個(gè)教學(xué)活動的感覺通常是不一樣的。3.教得好本質(zhì)上是為了促進(jìn)學(xué)得好。但在實(shí)際教學(xué)過程中是否能夠合乎我們的意愿呢？我們在上課、評卷、答疑解難時(shí)，我們自以為講清楚明白了，學(xué)生受到了一定的啟發(fā)，但反思后發(fā)現(xiàn)，自己的講解并沒有很好的針對學(xué)生原有的知識水平，從根本上解決學(xué)生存在的問題，只是一味的想要他們按照某個(gè)固定的程序去解決某一類問題，學(xué)生當(dāng)時(shí)也許明白了，但并沒有理解問題的本質(zhì)性的東西。

　　通過這次研修學(xué)習(xí)，我找到了以前教學(xué)中遇到的困惑和難點(diǎn)的解決方法；通過這次研修學(xué)習(xí)，對我的各方面都有很大的提升。

小學(xué)數(shù)學(xué)培訓(xùn)總結(jié)13

　　今年3月，我有幸參加了市小學(xué)數(shù)學(xué)骨干教師培訓(xùn)班第一階段的培訓(xùn)，雖然七天的培訓(xùn)時(shí)間很短，但這次培訓(xùn)讓我受益匪淺。我的思想、教學(xué)觀念、教育教學(xué)理論得到更新，極大的提高了我的教學(xué)方法、教學(xué)手段、教育教學(xué)策略。這次培訓(xùn)的內(nèi)容十分豐富，既有理論的講解，又有優(yōu)秀教師的示范課。此次培訓(xùn)我的收獲很大，現(xiàn)將的心得體會總結(jié)如下：

　　本次培訓(xùn)安排了多位教授、研究員給做精彩的講座。各位專家的講座，闡述了他們對以及小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的獨(dú)特見解，對新課程的各種看法，對數(shù)學(xué)思想方法的探討，并向我們介紹了比較前沿的教育理論知識。聽了他們的講解，我的思想深深受到震撼：作為一個(gè)普通的小學(xué)數(shù)學(xué)教師，我的太少。平常我們在學(xué)校中，考慮地都是如何上好一堂課，對于學(xué)生的'長期發(fā)展考慮地并不多，甚至于忽視這一方面。聽了講座，我覺得在今后的教學(xué)生涯中，我們不應(yīng)僅僅著眼于一些短期利益，而應(yīng)把眼光放長遠(yuǎn)一些；教學(xué)中應(yīng)重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透，而不局限于單一解答方法的教學(xué)；不要盲目地迷信新課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿），而應(yīng)辨證地看待它

　　除了理論知識以外，這次培訓(xùn)還為我們安排了金牛區(qū)五所小學(xué)11節(jié)數(shù)學(xué)示范課�？粗�老師門精湛的教學(xué)技藝和收放自如的教學(xué)手段，尤其是不拘泥于教材的教學(xué)內(nèi)容而有自己的創(chuàng)新，思想受到了很大的啟發(fā)――要認(rèn)真鉆研，活用教材，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際制定出切實(shí)可行的教學(xué)方案。

　　很遺憾，培訓(xùn)這么快就結(jié)束了，但是在培訓(xùn)過程中我受到的思想振蕩將伴隨我以后的教學(xué)生涯。相信今后的我定能為教育事業(yè)作出自己的貢獻(xiàn)，期待著下一次培訓(xùn)的到來。

小學(xué)數(shù)學(xué)培訓(xùn)總結(jié)14

　　綠樹陰濃夏日長，樓臺倒影入池塘。水晶簾動微風(fēng)起，滿塘荷盛一市香。在市教研室的組織下，我有幸參加了天長市首屆小學(xué)數(shù)學(xué)教師培訓(xùn)。通過學(xué)習(xí)，使我在理論上對教育、教學(xué)有了更深層次的認(rèn)識和體會。在多元化社會背景下，在一個(gè)以學(xué)習(xí)為主題的時(shí)代的發(fā)展中，市教研室及時(shí)的給小學(xué)教師提供了學(xué)習(xí)和交流的平臺，為期四天的培訓(xùn)匆匆而過，聯(lián)系本人的實(shí)際談?wù)剬�這次學(xué)習(xí)的認(rèn)識。

　　1、談?wù)剬�備課的認(rèn)識。

　　備課是上好課的關(guān)鍵，可以說任何一堂成功的課都是由精心備課而來。隨著新課程實(shí)踐向縱深發(fā)展，”教書“這一概念發(fā)生了深刻的變化。教師的“教”已不再是單純傳授，講析，而是引導(dǎo)、組織、參與、討論等的綜合。”書“也不再是單純的教科書，而是所有的書，包括電視、電影、網(wǎng)絡(luò)、報(bào)刊雜志，特別是生活這部大書。那么新課程背景下的備課也必然發(fā)生巨變，誰來備、備什么、怎樣備，這些都是教師們亟待解決的問題。王永斌老師的報(bào)告《數(shù)學(xué)教師如何備課》給我們指明了方向，使我們認(rèn)識到上好一節(jié)課的前提是必須備好一節(jié)課。

　　2、談?wù)剬ι险n的認(rèn)識。

　　在新的教學(xué)時(shí)代，在今天課改的大環(huán)境下，數(shù)學(xué)教師如何才能上好一節(jié)數(shù)學(xué)課？我認(rèn)為最重要的是：教師應(yīng)進(jìn)行角色轉(zhuǎn)換，應(yīng)從傳統(tǒng)的知識傳授者角色向?qū)W生的導(dǎo)師、學(xué)生自主學(xué)習(xí)的促進(jìn)者、課程的開發(fā)者、合作者、信息資源的設(shè)計(jì)和查詢者、學(xué)生的學(xué)術(shù)顧問、研究者和學(xué)習(xí)者等角色轉(zhuǎn)變。我們要向40分鐘要質(zhì)量，追求教學(xué)的有效性（即：有效果、有效率、有效益）。盧杰夫老師在他的報(bào)告中為我們詳細(xì)的介紹了如何上好一節(jié)課，在當(dāng)前的課堂教學(xué)中教師存在的困惑。以“解決問題”這一教學(xué)內(nèi)容為例，給我們展示了上好一節(jié)課的全部過程。當(dāng)然到底如何上好課，還有更多的方面值得我們每位教師去關(guān)注，去思考、去探索，畢竟教育是與我們每個(gè)人的生存和發(fā)展息息相關(guān)的。

　　3、談?wù)勅绾翁幚碚n堂教學(xué)預(yù)設(shè)與生成的關(guān)系。

　　課堂教學(xué)是預(yù)設(shè)與生成的矛盾統(tǒng)一體，充分的預(yù)設(shè)是課堂教學(xué)成功的保障。只有課前精心預(yù)設(shè)，才能在課堂上動態(tài)生成。我們還應(yīng)該“提倡生成”、“期待生成”，同時(shí)也“關(guān)注生成”、“駕馭生成”，讓學(xué)生的.問題跟著我們的課堂一起飛翔。曹文香老師的講稿中以自己的公開課為例為我們講述了課堂預(yù)設(shè)的基本要點(diǎn)和思路，從而使我認(rèn)識到預(yù)設(shè)性是課堂的必然屬性。為了有效地開展課堂教學(xué)活動，完成計(jì)劃中的教與學(xué)的任務(wù)，在上一堂課之前，我們要深入研究教材，全面了解學(xué)生，精心設(shè)計(jì)活動，完成教學(xué)預(yù)設(shè)。但在真實(shí)的課堂教學(xué)中，要因地制宜、因情制宜，隨時(shí)調(diào)整課前的預(yù)設(shè)，即時(shí)創(chuàng)造、即興修改，創(chuàng)設(shè)有利于學(xué)生有效學(xué)習(xí)的課堂情境。

　　4、談?wù)勅绾握f課。

　　培訓(xùn)的最后一天，汪主任還是給我們講解什么是說課、如何說課等等。具體的內(nèi)容我無須重復(fù)，我就說課談?wù)勛约旱恼J(rèn)識：

　　1、說課有利于提高教學(xué)教研活動的實(shí)效。

　　2、說課有利于提高教師備課的質(zhì)量。

　　3、說課有利于提高課堂教學(xué)的效率。

　　4、說課有利于提高教師的自身素質(zhì)。

　　同時(shí)，在汪主任給我們介紹說課的程序時(shí)，我個(gè)人覺得說課也應(yīng)該有一些原則：

　　1、說理精辟，突出理論性。

　　2、客觀再現(xiàn)，具有可操作性。

　　3、不拘形式，富有靈活性。

　　另外，我個(gè)人認(rèn)為說課要注重科學(xué)性、創(chuàng)新性、實(shí)效性。做到教材分析正確、透徹。學(xué)情分析客觀、準(zhǔn)確，符合實(shí)際。教學(xué)目的符合大綱要求、教材內(nèi)容和學(xué)生實(shí)際。教法設(shè)計(jì)緊扣教學(xué)目的、符合課型特點(diǎn)和學(xué)科特點(diǎn)、有利于發(fā)展學(xué)生智能，可操作性強(qiáng)。同時(shí)，還要樹立創(chuàng)新的意識和勇氣，說出新的思路和方法，使聽者有所啟示和收益。

　　這次培訓(xùn)是一次對自己“教育潛意識結(jié)構(gòu)"的深層改造，自己在學(xué)習(xí)中通過反思，結(jié)合教育實(shí)踐，明確了教育的方向、目的，找到了實(shí)現(xiàn)目的的方法技巧，這是一次成功的學(xué)習(xí)，勝利的學(xué)習(xí)，希望市教研室能夠給我們一線教師多提供一些這樣的學(xué)習(xí)機(jī)會。

小學(xué)數(shù)學(xué)培訓(xùn)總結(jié)15

　　xxxx年，我參加了黃巖區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展培訓(xùn)。在本次培訓(xùn)中，我不僅提高了理論素養(yǎng)，而且在實(shí)踐活動中，提高了教學(xué)研究能力。

　　在為期五天的理論學(xué)習(xí)中，我深刻的認(rèn)識到教師熟練地掌握教材，讀透教材對提高我們教學(xué)水平的重要性，也是使數(shù)學(xué)教學(xué)成為思維活動的前提。數(shù)學(xué)教材是教師進(jìn)行教學(xué)活動的主要依據(jù)，也是學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)活動的主要基礎(chǔ)，它是師生完成教與學(xué)雙邊活動必不可少的媒體。教學(xué)中，教師根據(jù)教材所提供的信息資源和基本內(nèi)容引導(dǎo)學(xué)生探索數(shù)學(xué)規(guī)律、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方法。其實(shí)讀教材的目的就是把教材“死”的結(jié)果變?yōu)閷W(xué)生靈活的學(xué)習(xí)過程，讓學(xué)生參與到數(shù)學(xué)活動中去，把靜態(tài)的，不會說話的教材結(jié)果變?yōu)閯討B(tài)的學(xué)習(xí)過程。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動的教學(xué)，是師生之間、學(xué)生之間交往互動與共同發(fā)展的過程�！睂W(xué)生要參與到數(shù)學(xué)活動中去，因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中教師“要緊密聯(lián)系學(xué)生生活實(shí)際，從學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)和已有知識出發(fā)創(chuàng)設(shè)生動有趣的情境，引導(dǎo)學(xué)生開展觀察、操作、猜想、推理、交流等活動，掌握基本的數(shù)學(xué)知識和技能，初步學(xué)會從數(shù)學(xué)的角度觀察事物、思考問題、激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣”。那么教師要積極利用各種教學(xué)資源，讀透教材，并創(chuàng)造性地使用教材，設(shè)計(jì)出適合學(xué)生發(fā)展的教學(xué)過程。

　　在本次活動中，我有幸參與教學(xué)實(shí)踐活動，學(xué)到了很多。

　　一、設(shè)計(jì)生活實(shí)際、引導(dǎo)學(xué)生積極探究。

　　這種教學(xué)設(shè)計(jì)有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生對新的知識產(chǎn)生強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)欲望，充分發(fā)揮學(xué)生的能動性的作用，從而挖掘?qū)W生的.思維能力，培養(yǎng)學(xué)生探究問題的習(xí)慣和探索問題的能力。

　　1、在教學(xué)中既要根據(jù)自己的實(shí)際，又要聯(lián)系學(xué)生實(shí)際，進(jìn)行合理的教學(xué)設(shè)計(jì)。注重開發(fā)學(xué)生的思維能力又把數(shù)學(xué)與生活實(shí)際聯(lián)在一起，使學(xué)生感受到生活中處處有數(shù)學(xué)。使教學(xué)設(shè)計(jì)具有形象性，給學(xué)生極大的吸引，抓住了學(xué)生認(rèn)識的特點(diǎn)，形成開放式的教學(xué)模式，達(dá)到預(yù)先教學(xué)的效果。

　　2、給學(xué)生充分的思維空間，做到傳授知識與培養(yǎng)能力相結(jié)合，重視學(xué)生非智力因素的培養(yǎng)；合理創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)，注重激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性推動學(xué)生活動意識。

　　3、利用合理地提問與討論發(fā)揮課堂的群體作用，鍛煉學(xué)生語言表達(dá)能力

　　二、積極提問，貫穿課堂始終

　　要想學(xué)生40分鐘內(nèi)都會專心聽你的課那是不可能的，他們或多或少會開小差，他們有的可能連書本都不拿出來或不翻開，甚至還會說話打鬧。這時(shí)如果采用提問的方式的話，就會使學(xué)生的精神一下子緊張起來，并且去思考你所提出的問題，但是提問時(shí)，不能只提問一些選擇性的問題，因?yàn)檫@樣他們思考的空間就會很小，這樣不利于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力；另外，提問要有均勻性，不能反復(fù)提問某個(gè)學(xué)生，這樣會使其他學(xué)生回答問題的熱情消退的。

　　三、設(shè)計(jì)質(zhì)疑教學(xué)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)欲望

　　1、充分挖掘教材，利用學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)作為鋪墊。

　　2、重視傳授知識與培養(yǎng)能力相結(jié)合，充分發(fā)揮和利用學(xué)生的智慧能力，積極調(diào)動學(xué)生主動、積極地探究問題，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的習(xí)慣。

　　3、在教學(xué)中提出質(zhì)疑，讓學(xué)生通過檢驗(yàn)，發(fā)展和培養(yǎng)學(xué)生思維能力，使學(xué)生積極主動尋找問題，主動獲取新的知識。

　　4、教學(xué)中應(yīng)創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生邏輯思維方式的問題情境，遵循創(chuàng)造學(xué)習(xí)的規(guī)律使學(xué)生運(yùn)用已有的知識經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行分析、比較、綜合。

　　為期兩星期的培訓(xùn)活動很快結(jié)束了，我要把接觸到的理念落實(shí)到日常教學(xué)中去，在實(shí)踐中促進(jìn)自身的成長。

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